# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.32-37

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.32-1.37. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.32

Quum hi duo factores reales ipsius X sint gradus m ti atque m potestas numeri 2: eadem ratione vterque rursus in duos factores reales 1/2m dimensionum resolui poterit. Quoniam vero per repetitam dimidiationem numeri m necessario tandem ad binarium peruenitur, manifestum est, per continuationem operationis functionem X tandem in factores reales secundi gradus resolutam haberi.
Quodsi vero functio talis proponitur, in qua terminus secundus non deest, puta x 2m +Ax 2m-1 +Bx 2m-2 + etc. +M , designante etiamnum 2m potestatem binariam, haec per substitutionem x=y-A/(2m) transibit in similem functionem termino secundo carentem. Vnde facile concluditur, etiam illam functionem in factores reales secundi gradus resolubilem esse.
Denique proposita functione gradus n ti , designante n numerum, qui non est potestas binaria: ponatur potestas binaria proxime maior quam n , =2m , multiplicetur functio proposita per 2m-n factores simplices reales quoscunque. Ex resolubilitate producti in factores reales secundi gradus, nullo negotio deriuatur, etiam functionem propositam in factores reales secundi vel primi gradus resolubilem esse debere.
8.
Contra hanc demonstrationem obiici potest.
1. Regulam, secundum quam E. concludit, ex 2m-1 aequationibus 2m-2 incognitas α,β etc. λ, μ etc. omnes rationaliter determinari posse, neutiquam esse generalem, sed saepissime exceptionem pati. Si quis e. g. in art. 3, aliaque incognitarum tamquam cognita spectata, reliquas per hanc et coefficientes datos rationaliter exprimere tentat, facile inueniet, hoc esse impossibile, nullamque quantitatum incognitarum aliter quam per aequationem m-1 ti gradus determinari posse. Quamquam vero hic statim a priori perspici potest, illud necessario ita euenire debuisse: tamen merito dubitari posset, annon etiam in casu praesenti pro quibusdam valoribus ipsius m res eodem modo se habebat; vt incognitae α,β etc. λ, μ etc. ex u,B,C etc. aliter quam per aequationem gradus forsan maioris quam 2m determinari nequeant. Pro eo casu, vbi aequatio X=0 est quarti gradus, E. valores rationales coëfficientium per u et coëfficientes datos eruit; idem vero etiam in omnibus aequationibus altioribus fieri posse, vtique explicatione ampliori egebat. — Ceterum operae pretium esse videtur, in formulas illas, quae α, β etc. rationaliter per u, B, C etc. exprimant, profundius et generalissime inquirere; de qua re aliisque ad eliminationis theoriam (argumentum haudquaquam exhaustum) pertinentibus alia occasione fusius agere suscipiam.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.