Latin
Lines 1.38-1.39
Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.38-39
Not analysed yet
2. Etiamsi autem demonstratum fuerit, cuiusuis gradus sit aequatio X=0 ,semper formulas inueniri posse, quae ipsas α, β etc. λ ,μ etc. rationaliter per u, B, C etc. exhibeant: tamen certum est, pro valoribus quibusdam determinatis coëfficientium B, C etc. formulas illas indeterminatas euadere posse, ita vt non solum impossibile sit, incognitas illas rationaliter ex u, B, C etc. definire, sed adeo reuera quibusdam in casibus valori alicui reali ipsius u nulli valores reales ipsarum α, β etc. λ ,μ etc. respondeant. Ad confirmationem huius rei breuitatis gratia ablego lectorem ad diss. ipsam E. vbi p. 236. aequatio quarti gradus fusius explicata est. Statim quisque videbit, formulas pro coëfficientibus α, β indeterminatas fieri, si C=0 et pro u assumatur valor 0 ,illorumque valores non solum sine extractione radicum assignari non posse, sed adeo ne reales quidem esse, si fuerit BB-4D quantitas negatiua. Quamquam vero in hoc casu u adhuc alios valores reales habere, quibus valores reales ipsarum α, β respondeant, facile perspici potest: tamen vereri aliquis posset, ne huius difficultatis enodatio (quam E. omnino non attigit) in aequationibus altioribus multo maiorem operam facessat. Certe haec res in demonstratione exacta neutiquam silentio praeteriri debet.
3. Ill. E. supponit tacite, aequationem X=0 habere 2m radices, harumque summam statuit =0 ideo quod terminus secundus in X abest. Quomodo de hac licentia (qua omnes auctores de hoc argumento vtuntur) sentiam, iam supra art. 3. declaraui. Propositio, summam omnium radicum aequationis alicuius coëfficienti primo, mutato signo, aequalem esse, ad alias aequationes applicanda non videtur, nisi quae radices habent: iam quum per hanc ipsam demonstrationem euinci debeat, aequationem X=0 reuera radices habere, haud permissum videtur, harum existentiam supponere. Sine dubio ii, qui huius paralogismi fallaciam nondum penetrauerunt, respondebunt, hic non demonstrari, aequationi X=0 satisfieri posse (nam hoc dicere vult expressio, eam habere radices), sed tantummodo, ipsi per valores ipsios x sub forma a+b√ -1 contentos satisfieri posse; illud vero tamquam axioma supponi. At quum aliae quantitatum formae, praeter realem et imaginariam a+b√ -1 concipi nequeant, non satis luculentum videtur, quomodo id quod demonstrari debet ab eo, quod tamquam axioma supponitur, differat; quin adeo si possibile esset adhuc alias formas quantitatum excogitare, puta formam F, F′ ,F′ ′ etc. tamen sine demonstratione admitti non deberet, cuius aequationi per aliquem valorem ipsius x aut realem, aut sub forma a+b√ -1 ,aut sub forma F ,aut sub F′ etc. contentum satisfieri posse. Quamobrem axioma illud alium sensum habere nequit quam hunc: Cuius aequationi satisfieri potest aut per valorem realem incognitae, aut per valorem imaginariam sub forma a+b√ -1 contentum, aut forsan per valorem sub forma alia hucusque ignota contentum, aut per valorem, qui sub nulla omnino forma continetur. Sed quomodo huiusmodi quantitates de quibus ne ideam quidem fingere potes vera vmbrae vmbra summari aut multiplicari possint; hoc ea perspicuitate, quae in mathesi semper postulatur, certo non intelligitur. *4)