# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.40-42 Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.40-1.42. Latin. Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.40 Ceterum conclusiones, quas E. ex suppositione sua elicuit, per has obiectiones haudquaquam suspectas reddere volo; quin potius certus sum, illas per methodum neque difficilem neque ab Euleriana multum diuersam ita comprobari posse, vt nemini vel minimus scrupulus superesse debeat. Solam formam reprehendo, quae quamuis in inueniendis nouis veritatibus magnae vtilitatis esse possit, tamen in demonstrando , coram publico, minime probanda videtur. 4. Pro demonstratione assertionis, productum pqr etc. ex coëfficientibus in X rationaliter determinari posse, ill. E. nihil omnino attulit. Omnia, quae hac de re in aequationibus quarti gradus explicat, haec sunt (vbi a, b, c, d sunt radices aequationes propositae x 4 +Bxx+Cx+D=0 ): ''On m'objectera sans doute, que j'al supposé ici, que la quantité pqr étoit une quantité réelle, et que son quarré ppqqrr étoit affirmatif; ce qui étoit encor douteux, vu que les racines a, b, c, d étant imaginaire, il pourroit bien arriver, que le quarré de la quantité pqr , qui en es composée, fut negatif. Or je reponds à cela que ce cas ne sauroit jamais avoir lieu; car quelque imaginaires que soient les racines a,b,c,d, on sait pourtant, qu'il doit y avoir a+b+c+d=0 ; ab+ac+ad+bc +bb+cd=B ; abc+abd+acd+bcd=-C *5) ; abcd =D , ces quantités B,C,D étant réelles. Mais puisque p= a+b, q=a+c, r=a+b , leur produit pqr=(a+b)(a+c)a+d) est determinable comme on sait , par les quantités B,C,D , et sera par conseéquent réel, tout comme nous avons vu, qu'il est effectivement pqr=-C, et ppqqrr=CC . On reconnoitra aisément de même, que dans les plus hautes équations cette même circonstance doit avoir lieu, et qu'on ne sauroit me faire des objections de ce coté.'' Conditionem, productum pqr etc. rationaliter per B,C etc. determinari posse, E. nullibi adiecit, attamen semper subintellexisse videtur, quum absque illa demonstratio nullam vim habere possit. Iam verum quidem est in aequationibus quarti gradus, si productum (a+b)(a+c)(a+d) euoluatur obtineri aa(a+b+c+d)+abc+abd+acd+bcd=-C , attamen non satis perspicuum videtur, quomodo in omnibus aequationibus superioribus productum rationaliter per coëfficientes determinari possit. Clar. de Foncenex, qui primus hoc obseruauit ( Miscell. phil. math. soc. Taurin. T. I. p. 117.), recte contendit, sine demonstratione rigorosa huius propositionis methodum omnem vim perdere, illam vero satis difficilem sibi videri confitetur, et quam viam frustra tentauerit, enarrat. *6) Attamen haec res haud difficulter per methodum sequentem (cuius summam addigitare tantummodo hic possum) obsoluitur: Quamquam in aequationibus quarti gradus non satis clarum est, productum (a+b)(a+c)(a+d) per coëfficientes B,C,D determinabile esse, tamen facile perspici potest, idem productum etiam esse = (b+a)(b+c)(b+d) , nec non =(c+a)(c+b)(c+d) , denique etiam =(d+a)(d+b)(d+c) . Quare productum pqr erit quadrans summae (a+b)(a+c)(a+d)+(b+a)(b+c)(b+d)+ (c+a)(c+b)(c+d)+(b+a)(b+d)(d+c) , quam, si evoluatur, fore functionem rationalem integram radicum a,b,c,d talem, in quam omnes eadem ratione ingrediantur, nullo negotio a priori praeuideri potest. Tales vero functiones semper rationaliter per coëfficientes aequationis, cuius radices sunt a, b, c, d , exprimi possunt. — Idem etiam manifestum est, si productum pqr sub hanc formam redigatur: --- Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea. License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.