# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.55-4

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.55-1.4. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.55

12.
Denique ill. LaGrange de theoremate nostro egit in comm. Sur la forme des racines imaginaires des equations, Nouv. Mem. de l' Acad. de Berlin 1772. p. 222 sqq. Magnus hic geometra imprimis operam dedit, defectus in Euleri demonstratione prima supplere et reuera praesertim ea, quae supra (art. 8.) obiectionem tertiam et quartam constituunt, tam profunde perscrutatus est, vt nihil amplius desiderandum restet, nisi forsan in disquisitione anteriori supra theoria eliminationis (cui inuestigatio haec tota innititur) quaedam dubia superesse videantur. — Attamen obiectionem primam omnino non attigit, quin etiam tota disquisitio superstructa est suppositioni, quamuis aequationem m ti gradus reuera m radices habere.
Probe itaque iis, quae hucusque exposita sunt, perpensis, demonstrationem nouam theorematis grauissimi ex principiis omnino diuersis petitam peritis haud ingratam fore spero, quam exponere statim aggredior.
13.
LEMMA. Denotante m numerum integrum positiuum quemcunque, functio sin φ. x m -sin mφ. r m-1 x+sin(m-1)φ. r m diuisibilis erit per xx-2cos φ. rx+rr .
Demonstr. Pro m=1 functio illa sit =0 adeoque per quemcunque factorem diuisibilis; pro m=2 quotiens sit sin φ , et pro quouis valore maiori quotiens erit sin φ. x m-2 +sin 2φ. rx m-3 +sin3φ. rrx m-4 + etc. +sin(m-1)φ. r m-2 . Facile enim confirmatur multiplicata hac functione per xx-2cosφ. rx+rr , productum functioni propositae aequale fieri.
14.
LEMMA. Si quantitas r angulusque φ ita sunt determinati, vt habeantur aequationes
r m cos mφ+Ar m-1 cos(m-1)φ+Br m-2 cos(m-2)φ+ etc. +Krrcos2φ+Lrcosφ+M=0 [1]
r m sin mφ+Ar m-1 sin(m-1)φ+Br m-2 sin(m-2)φ+ etc. +Krrsin2φ+Lrsinφ=0 [2]
functio x m +Ax m-1 +Bx m-2 + etc. +Kxx+Lx+M=X diuisibilis erit per factorem duplicem xx-2cosφ. rx+rr , si modo r. sinφ non =0 ; si vero r. sinφ=0 , eadem functio diuisibilis erit per factorem simplicem x-rcosφ .

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.