# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.66-71

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.66-1.71. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.66

Demonstr. I. Ex art. praec. omnes sequentes quantitates diuisibiles erunt per xx-2cosφ. rx+rr :
sinφ. rx m - sin mφ. r m x + sin(m-1)φ. r m +1 Asinφ. rx m-1 - Asin(m-1)φ. r m-1 + Asin(m-2)φ. r m Bsinφ. rx m-2 - Bsin(m-2)φ. r m-2 + Bsin(m-2)φ. r m-1 etc. etc. Ksinφ. rxx - Ksin2φ. rxx + Ksinφ. r 3 Lsinφ. rx - Lsinφ. rx * Msinφ. r * + Msin(-φ)r.
Quamobrem etiam summa harum quantitatum per xx-2cosφ. rx+rr diuisibilis erit. At singularum partes primae constituunt summam sinφ. rX ; secundae additae dant 0 , propter [2]; tertiarum vero aggregatum quoque euanescere, facile perspicitur, si [1] multiplicatur per sinφ , [2] per cosφ , productumque illud ab hoc subducitur. Vnde sequitur, functionem sinφ. rX diuisibilem esse per xx-2cosφ. rx+rr , adeoque, nisi fuerit rsinφ=0 , etiam functionem X . Q. E. P.
II. Si vero rsinφ=0 , erit aut r=0 aut sinφ=0 . In casu priori erit M=0 , propter [1], adeoque X per x siue per x-rcosφ diuisibilis; in posteriori erit cosφ=±1 , cos2φ= +1 , cos3φ=±1 et generaliter cos nφ=cosφ n . Quare propter [1] fiet X=0 , statuendo x=cosφ , et proin functio X per x-cosφ erit diuisibilis. Q. E. S.
15.
Theorema praecedens plerumque adiumento quantitatum imaginariarum demonstratur, vid. Euler Introd. in Anal. Inf. T. I. p. 110 ; operae pretium esse duxi, ostendere, quomodo aeque facile absque illarum auxilio erui possit. Manifestum iam est, ad demonstrationem theorematis nostri nihil aliud requiriri quam vt ostendatur: Proposita functione quacunque X formae x m +Ax m-1 + Bx m-2 + etc. +Lx+M , r et φ ita determinari posse, vt aequationes [1] et [2] locum habeant . Hinc enim sequetur, X habere factorem realem primi vel secundi gradus; diuisio autem necessario producet quotientem realem inferioris gradus, qui ex eadem ratione quoque factorem primi vel secundi gradus habebit. Per continuationem huius operationis X tandem in factores reales simplices vel duplices resoluetur. Illud itaque theorema demonstrare, propositum est sequentium disquisitionum.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.