# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.76-78

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.76-1.78. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.76

18.
Ante omnia obseruo, vtramque curuam esse algebraicam, et quidem, si ad coordinates orthogonales reuocetur, ordinis m ti . Sumto enim initio abscissarum in C , abscissisque x versus G , applicatis y versus P , erit x=rcosφ , y=rsinφ , adeoque generaliter, quidquid sit n , r n sin nφ=nx n-1 y-(n. n-1. n-2) / (1. 2. 3) x n-3 y 3 +(n. .. n-4) / (1. .. .5) x n-5 y 5 - etc., r n cos nφ=x n -(n. n-1) / (1. 2) x n-2 yy +(n. n-1. n-2. n-3) / (1. 2. 3. 4) x n-4 y 4 - etc. Quamobrem tum T tum U constabunt ex pluribus huiusmodi terminis ax α y β , denotantibus α , β numeros integros positiuos, quorum summa, vbi maxima est, sit =m . Ceterum facile praeuideri potest, cunctos terminos ipsius T factorem y inuoluere, adeoque lineam primam proprie ex recta (cuius aequatio y=0 ) et curua ordinis m-1 ti compositam esse; sed necesse non est ad hanc distinctionem hic respicere.
Maioris momenti erit inuestigatio, an linea prima et secunda crura infinita habeant, et quot qualiaque. In distantia infinita a puncto C linea prima, cuius aequatio sin mφ+1/r sin(m-1)φ +B/rr sin(m-2)φ etc. =0 , confundetur cum linea, cuius aequatio sin mφ=0 . Haec vero exhibet m lineas rectas in puncto A se secantes, quarum prima est axis GCG′ , reliquae contra hanc sub angulis 1/m 180 , 2/m 180 , 3/m 180 etc. graduum inclinatae. Quare linea prima 2m ramos infinitos habet, qui peripheram circuli radio infinito descripti in 2m partes aequales dispertiuntur, ita vt peripheria a ramo primo secetur in concursu circuli et axis, a secundo in distantia 1/m 180° , a tertio in distantia 2/m 180° etc. Eodem modo linea secunda in distantia infinita a centro habebit asymptotam per aequationem cos mφ=0 expressam, quae est complexus m rectarum in puncto C sub aequalibus angulis itidem se secantium, ita tamen, vt prima cum axi CG constituat angulum 1/m 90° , secunda angulum 3/m 90° , tertia angulum 5/m 90° etc. Quare linea secunda etiam 2m ramos infinitos habebit, quorum singuli medium locum inter binos ramos proximos linea primae occupabunt, ita vt peripheriam circuli radio infinite magno descripti in punctis, quae 1/m 90° , 3/m 90° , 5/m 90° etc. ab axe distant, secent. Ceterum palam est, axem ipsum semper duos ramos infinitos lineae primae constituere, puta primum et m+1 tum . Luculentissime hic ramorum situs exhibetur in fig. 2, pro casu m=4 constructa, vbi rami lineae secundae, vt a ramis lineae primae distinguantur, punctati exprimuntur, quod etiam de figura quarta est tenendum. *8) — Quum vero hae conclusiones maximi momenti sint, quantitatesque infinite magnae quosdam lectores offendere possint: illas etiam absque infinitorum subsidio in art. sequ. eruere docebo.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.