# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.79-82

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.79-1.82. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.79

19.
THEOREMA. Manentibus cunctis vt supra, ex centro C describi poterit circulos, in cuius peripheria sint 2m puncta, in quibus T=0 , totidemque, in quibus U=0 , et quidem ita, vt singula posteriora inter bina priorum iaceant.
Sit summa omnium coëfficientium A,B etc. K,L,M , positiue acceptorum =S , accipiaturque R simul >S√2 et >1 *9) : tum dico in circulo radio R descripto ea, quae in theoremate enunciata sunt, necessario locum habere. Scilicet designato breuitatis gratia eo puncto huius circumferentiae, quod 1/m 45 gradibus ab ipsius concursu cum laeua parte axis distat, siue pro quo φ= 1/m 45° , per (1); similiter eo puncto, quod φ=3/m 45° , ab hoc concursu distat, siue pro quo φ=3/m 45° , per (3); porro eo, vbi φ=5/m 45° , per (5) etc. vsque ad (8m-1) , quod (8m-1)/m 45 gradibus ab illo concursu distat, si semper versus eandem partem progrederis, (aut 1/m 45° a parte opposita), ita vt omnino 4m puncta in peripheria habeantur, aequalibus interuallis dissita: iacebit inter (8m-1) et (1) vnum punctum, pro quo T=0 ; nec non sita erunt similia puncta singula inter (3) et (5); inter (7) et (9); inter (11) et (13) etc. quorum itaque multitudo 2m ; eodemque modo singula puncta, pro quibus U=0 , iacebunt inter (1) et (3); inter (5) et (7); inter (9) et (11), quorum multitudo igitur etiam =2m ; denique praeter haec 4m puncta alia, in tota peripheria non dabuntur, pro quibus vel T vel U sit =0 .
Demonstr. I. In puncto (1) erit mφ=45° adeoque T= R m-1 (R√1/2 +Asin(m-1)φ+B/R sin(m-2)φ+ etc. + L/(R m-2 ) sinφ) ; summa vero Asin(m-1)φ+B/R sin(m-2)φ etc. certo non poterit esse maior quam S , adeoque necessario erit minor quam R√1/2 : vnde sequitur in hoc puncto valorem ipsius T certo esse positiuum. A potiori itaque T valorem positiuum habebit, quando mφ inter 45° et 135° iacet, i. e. a puncto (1) vsque ad (3) valor ipsius T semper positiuus erit. Ex eadem ratione T a puncto (9) vsque ad (11) positiuum valorem vbique habebit, et generaliter a quouis puncto (8k+1) vsque ad (8k+3) , denotante k integrum quemcunque. Simili modo T vbique inter (5) et (7), inter (13) et (15) etc. et generaliter inter (8k+5) et (8k+7a) valorem negatiuum habebit, adeoque in omnibus his interuallis nullibi poterit esse =0 . Sed quoniam in (3) hic valor est positiuus, in (5) negatiuus: necessario alicubi inter (3) et (5) erit =0 ; nec non alicubi inter (7) et (9); inter (11) et (13) etc. vsque ad interuallum inter (8m-1) et (1) incl., ita vt omnino in 2m punctis habeatur T=0 . Q. E. P.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.