# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.8-10

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.8-1.10. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.8

Quidam auctores, qui debilitatem huius methodi percepisse videntur, tamquam axioma assumunt, quamuis aequationem reuera habere radicos, si non possibiles, impossibiles. Quid sub quantitatibus possibilibus et impossibilibus intellegi velint, haud satis distincte exposuisse videntur. Si quantitates possibiles idem denotare debent vt reales, impossibiles idem vt imaginariae: axioma illud neutiquam admitti potest, sed necessario demonstratione opus habet. Attamen in illo sensu expressiones accipiendae non videntur, sed axiomatis mens haec potius videtur esse: "Quamquam nondum sumus certi, necessario dari m quantitates reales vel imaginarias, quae alicui aequationi datae m ti gradus satisfaciant, tamen aliquantisper hoc supponemus; nam si forte con- tingeret, vt tot quantitates reales et imaginariae inueniri ne- queant, certe effugium patebit, vt dicamus reliquas esse impos- sibiles. '' Si quis hac phrasi vti mauult quam simpliciter dicere, aequationem in hoc casu tot radices non habituram, a me nihil obstat: at si tum his radicibus impossibilibus ita vtitur tamquam aliquid veri sint, et e. g. dicit, summam omnium radicum aequationis x m +Ax m-1 + etc. =0 , esse =-A , etiamsi impossibiles inter illas sint (quae expressio proprie significat, etiamsi aliquae deficiant ): hoc neutiquam probare possum. Nam radices impossibiles, in tali sensu acceptae, tamen sunt radices, et tum axioma illud nullo modo sine demonstratione admitti potest, neque inepte dubitares, annon aequationes exstare possint, quae ne impossibiles quidem radices habeant? *1)
4.
Antequam aliorum geometrarum demonstrationes theorematis nostri recenseam, et quae in singulis reprehenda mihi videantur, exponam: obseruo sufficere si tantummodo ostendatur, omni aequationi quantiuis gradus x m +Ax m-1 +Bx m-2 + etc. +M=0 siue X=0 (vbi coëfficientes A, B etc. reales esse supponuntur) ad minimum vno modo satisfieri posse per valorem ipsius x sub forma a+b√-1 contentum. Constat enim, X tunc diuisibilem fore per factorem realem secundi gradus xx-2ax+aa+bb , si b non fuerit =0 , et per factorem realem simplicem x-a , si b=0 . In vtroque casu quotiens erit realis, et inferioris gradus quam X ; et quum hic eadem ratione factorem realem primi secundiue gradus habere debeat, patet, per continuationem huius operationis functionem X tandem in factores reales simplices vel duplices resolutum iri, aut, si pro singulis factoribus realibus duplicibus binos imaginarios simplices adhibere mauis, in m factores simplices.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.