# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.83-87

Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.83-1.87. Latin.

Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.83

II. Quod vero praeter haec 2m puncta, alia, hac proprietate praedita, non dantur, ita cognoscitur. Quum inter (1) et (3); inter (5) et (7) etc. nulla sint, aliter fieri non posset, vt plura talia puncta exstent, quam si in aliquo interuallo inter (3) et (5), vel inter (7) et (9) etc. ad minimum duo iacerent. Tum vero nesessario in eodem interuallo T alicubi esset maximum , vel minimum , adeoque (dT)/(dφ)=0 . Sed (dT)/(dφ)=mR m-2 (Rcos mφ+(m-1)/m Acos(m-1)φ+ etc.) et cos mφ inter (3) et (5) semper est negatiuus et >√1/2 . Vnde facile perspicitur in toto hoc interuallo (dT)/(dφ) esse quantitatem negatiuam; eodemque modo inter (7) et (9) vbique positiuam; inter (11) et (13) negatiuam etc. ita vt in nullo horum interuallorum esse possit 0, adeoque suppositio consistere nequeat. Quare etc. Q. E. S.
III. Prorsus simili modo demonstratur, U habere valorem negatiuum vbique inter (3) et (5), inter (11) et (13) etc. et generaliter inter (8k+3) et (8k+5) ; positiuum vero inter (7) et (9), in- ter (15) et (17) etc. et generaliter inter (8k+7) et (8k+9) . Hinc statim sequitur, U=0 fieri debere alicubi inter (1) et (3), inter (5) et (7) etc., i. e. in 2m punctis. In nullo vero horum interuallorum fieri poterit (dT)/(dφ)=0 (quod facile simili modo vt supra probatur): quamobrem plura quam illa 2m puncta in circuli peripheria non dabuntur, in quibus fiat U=0 . Q. E. T. et Q.
Ceterum ea theorematis pars, secundum quam plura quam 2m puncta non dantur, in quibus T=0 , neque plura quam 2m , in quibus U=0 , etiam inde demonstrari potest, quod per aequationes T=0 , U=0 exhibentur curuae m ti ordinis, quales a circulo tamquam curuae secundi ordinis in pluribus quam 2m punctis secari non posse, ex geometria sublimiori constat.
20.
Si circulus alius radio maiori quam R ex eodem centro describitur, eodemque modo diuiditur: etiam in hoc inter puncta (3) et (5) iacebit punctum vnum, in quo T=0 , itemque inter (7) et (9) etc., perspicieturque facile, quo minus radius huius circuli a radio R differat, eo propius huiusmodi puncta inter (3) et (5) in vtriusque circumferentia sita esse debere. Idem etiam locum habebit, si circulus radio aliquantum minori quam R , attamen maiori quam S√2 et 1 describitur. Ex his nullo negotio intelligitur, circuli radio R descripti circumferentiam in eo puncto inter (3) et (5), vbi T=0 , reuera secari ab aliquo ramo lineae primae; idemque valet de reliquis punctis, vbi T=0 . Eodem modo patet, circumferentiam circuli huius in omnibus 2m punctis, vbi U=0 , ab aliquo ramo lineae secundae secari. Hae conclusiones etiam sequenti modo exprimi possunt: Descripto circulo debitae magnitudinis e centro C , in hunc intrabunt 2m rami lineae primae totidemque rami lineae secundae, et quidem ita, vt bini rami proximi lineae primae per aliquem ramum lineae secundae ab inuicem separentur. Vid. fig. 2, vbi circulus iam non infinitae sed finitae magnitudinis erit, numerique singulis ramis adscripti cum numeris, per quos in art. praec. et hoc limites certos in peripheria breuitatis caussa designaui, non sunt confundendi.

---

Gauss, DEMONSTRATIO NOVA THEOREMATIS OMNEM FVNCTIONEM ALGEBRAICAM RATIONALEM INTEGRAM VNIVS VARIABILIS IN FACTORES REALES PRIMI VEL SECUNDI GRADVS RESOLVI POSSE AVCTORE CAROLO FRIDERICO GAVSS HELMSTADII APVD C. G. FLECKEISEN. 1799. Text: The Latin Library (thelatinlibrary.com), used with permission. Changes: HTML markup removed and the text divided into reading sections by Interlinea.
License: Used with permission (https://www.thelatinlibrary.com/about.html). Source: https://www.thelatinlibrary.com/gauss.html.