# Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799 1.88-91 Gauss, Demonstratio Nova Theorematis Omnem Functionem Algebraicam Rationalem Integram Unius Variabilis in Factores Reales Primi Vel Secundi Gradus Resolvi Posse Auctore Carolo Friderico Gauss Helmstadii Apud C. G. Fleckeisen. 1799, Lines 1.88-1.91. Latin. Canonical: https://interlinea.aeterna-institute.org/library/latin/gauss/demonstratio-nova-theorematis-omnem-fvnctionem-algebraicam-rationalem-integram-v/1.88 21. Iam ex hoc situ relatiuo ramorum in circulum intrantium tot modis diuersis deduci potest, intersectionem alicuius rami lineae primae cum ramo lineae secundae intra circulum necessario dari, vt quaenam potissimum methodus prae reliquis eligenda sit, propemodum nesciam. Luculentissima videtur esse haec: Designemus (fig. 2.) punctum peripheriae circuli, vbi a laeua axis parte (quae ipsa est vnus ex 2m ramis lineae primae) secatur, per 0; punctum proximum, vbi ramus lineae secundae intrat, per 1; punctum huic proximum, vbi secundus lineae primae ramus intrat, per 2, et sic porro vsque ad 4m-1 , ita vt in quouis puncto numero pari signato ramus lineae secundae in circulum intret, contra ramus lineae secundae in omnibus punctis per numerum imparem expressis. Iam ex geometria sublimori constat, quamuis curuam algebraicam, (siue singulas cuiusuis curuae algebraicae partes, si forte e pluribus composita sit) aut in se redientem aut vtrimque in infinitum excurrentem esse, adeoque si ramus aliquis curuae algebraicae in spatium definitum intret, eundem necessario ex hoc spatio rursus alicubi exire debere. *10) Hinc concluditur facile, quoduis punctum numero pari signatum (seu, breuitatis caussa, quoduis punctum par ) per ramum lineae primae cum alio puncto pari intra circulum iunctum esse debere, similiterque quoduis punctum numero impari notatum cum alio simili puncto per ramum lineae secundae. Quamquam vero haec binorum punctorum connexio secundum indolem functionis X perquam diuersa esse potest, ita vt in genere determinari nequeat, tamen facile demonstrari potest, quaecunque demum illa sit, semper intersectionem lineae primae cum linea secunda oriri . 22. Demonstratio huius necessitatis commodissime apagogice repraesentari posse videtur. Scilicet supponamus, iunctionem binorum quorumque punctorum parium, et binorum quorumque punctorum imparium ita adornari posse, vt nulla intersectio rami lineae primae cum ramo lineae secundae inde oriatur. Quoniam axis est pars lineae primae, manifesto punctum 0 cum puncto 2m iunctum erit. Punctum 1 itaque cum nullo puncto vltra axem sito, i. e. cum nullo puncto per numerum maiorem quam 2m expresso iunctum esse potest, alioquin enim linea iungens necessario axem secaret. Si itaque 1 cum puncto n iunctum esse supponitur, erit n . Ex simili ratione si 2 cum n′ iunctum esse statuitur, erit n′