ΠΕΡΙ ΣΦΑΙΡΑΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

Παντὶ ῥόμβῳ ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκειμένῳ ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἑτέρου κώνου τῶν περιεχόντων τὸν ῥόμβον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ἑτέρου κώνου καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ἑτερου κώνου. Ἔστω ῥόμβος ἐξ ἰσοσκελῶν κώνων συγκείμενος ὁ ΑΒΓ△, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΓ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ Α△, ἐκκείσθω δέ τις ἕτερος ὁ ΗΘΚ τὴν μὲν βάσιν ἔχων τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΑΒΓ κώνου ἴσην, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ ἀπὸ τοῦ △σημείου καθέτῳ ἐπὶ τὴν ΑΒ ἢ τὴν ἐπʼ εὐθείας αὐτῇ ἠγμένῃ, ἔστω δὲ ἡ △Ζ, τὸ δὲ ὕψος τοῦ ΘΗΚ κώνου ἔστω τὸ ΘΛ ἴσον δή ἐστιν τὸ ΘΛ τῇ △Ζ λέγω ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ κῶνος τῷ ῥόμβῳ. Ἐκκείσθω γὰρ ἕτερος κῶνος ὁ ΜΝΞ τὴν μὲν βάσιν ἔχων ἴσην τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ κώνου, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῇ Α△, καὶ ἔστω τὸ ὕψος αὐτοῦ τὸ ΝΟ. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΝΟ τῇ Α△ ἴση ἐστίν, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΝΟ πρὸς △Ε, οὕτως ἡ Α△ πρὸς △Ε. Ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον, ὡς δὲ ἡ ΝΟ πρὸς τὴν △Ε, οὕτως ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον ὡς ἄρα ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον, οὕτως ὁ ΑΒΓ△ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΜΝΞ τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ τῇ βάσει τοῦ ΗΘΚ, ὡς ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὴν ἰδίαν βάσιν, οὕτως ἡ βάσις τοῦ ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ . Ὡς δὲ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὴν ἰδίαν βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, τουτέστιν ἡ Α△ πρὸς △Ζ · ὡς ἄρα ἡ βάσις τοῦ ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ, οὕτως ἡ Α△ πρὸς △Ζ. Ἴση δὲ ἡ μὲν Α△ τῇ ΝΟ ,ἡ δὲ △Ζ τῇ ΘΛ· ὡς ἄρα ἡ βάσις τοῦ ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ, οὕτως τὸ ΝΟ ὕψος πρὸς τὸ ΘΛ. Τῶν ΗΘΚ, ΜΝΞ ἄρα κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ἴσοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι. Ἐδείχθη δὲ ὁ ΜΝΞ ἴσος τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ καὶ ὁ ΗΘΚ ἄρα κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΑΒΓ△ ῥόμβῳ.