ιε΄.

Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου, τετμάσθω δὲ περιφέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ △,ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ △σαμείου διάχθω ἁ △Β τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθὰς ἁ ΖΗ φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σαμεῖον, καὶ ἄχθωσαν αἱ Θ△, △Η, Α△ εὐθεῖαι. Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν, γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ△, τουτέστι ἁ ὑπὸ △ΒΑ, ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ, ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η, Γ σαμεῖα, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΖ, ἐσσεῖται ἄρα καὶ βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα. Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒ△, ΗΒ△ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΗ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ Β△, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗ△, τουτέστιν ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς, ἴσα· ἔστι BD δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓ△, ΒΗ△ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύτοῦ ῥοῦ ΒΑ△Γ, τουτέστι τᾷ △ΑΕ, ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΑ ἔστιν ἴσα, καὶ πλευρὰ ἁ △Α τᾷ △Η. Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΘΗ βε΄ ὀρθᾶς ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ △ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθᾶς, γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Η βέ ὀρθᾶς ἐστιν πλευρὰ ἄρα ἁ △Η πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα. Πάλιν, ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ Α△ΓΒ ἐκτός ἐστιν, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγ΄ ὀρθᾶς γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Η△Θ ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Ε△Α, Θ△Η δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ Ε△Α, △ΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ Θ△Η. △ΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί, βάσις δὲ ἁ △Α βάσει τᾷ △Η ἴσα, πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν. Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ, τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστίν· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν. ΠΟΡΙΣΜΑ Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ △Ε τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα. Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΘ ἴσα ἐστίν, ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ △Θ πλευρᾷ τᾷ △Ε, τουτέστι τᾷ ΑΘ, ἴσα. ΠΟΡΙΣΜΑ Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ △σαμεῖον τμᾶμα δὲ τὸ △Ε τὸ μεῖζόν ἐστιν, ἐπεὶ ἁ Ε△ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου, ἁ δὲ △Γ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων.