ιδ΄.

Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἴσα τμάματα λαφθέωντι καὶ ἀπὸ τούτων ἁμικύκλια ἐντὸς γραφέωντι, γραφῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τᾶς διαμέτρου ἁμικύκλιον ἐκτός, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος συναμφότερος ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἁμικυκλίου καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκτός, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν. Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς διαμέτρου τῶν Α, Β δύο τμάματα ἴσα ἀλλάλοις λελάφθω τὰ ΑΓ, Β△, γεγράφθω δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων δύο ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμάματος τοῦ Γ△ γεγράφθω ἁμικύκλιον ἐκτός, διὰ κέντρου δὲ τοῦ ἀμικυκλίου τοῦ Ε διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἄχθω ποτʼ ὀρθὰς εὐθεῖα ἁ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον· φαμὶ δή, ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων, ὅπερ σελήνιον καλείσθω, ἴσος ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα· γραμμὰ ἁ △Γ δίχα τέτμαται κατὰ τὸ Ε σαμεῖον, ποτίκειται δὲ αὐτᾷ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἁ ΓΑ, τὸ ἀπὸ τᾶς △Α καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ποτικειμένας τᾶς ΓΑ τὰ συναμφότερα τετράγωνα διπλασίονά ἐντι τοῦ τε ἀπὸ τᾶς ἁμισείας τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου. Ἔστι δὲ ἁ ΖΗ τᾷ △Α ἴσα ἔστιν ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα τοῦ τε ἀπὸ τᾶς △Ε καὶ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ. Καὶ ἐπεὶ ἁ ΑΒ τᾶς ΑΕ διπλασίων ἐστὶ καὶ ἁ Γ△ τᾶς △Ε, ἐσσεῖται καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, Γ△ τοῖς ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΑ τετραπλασίονα, τουτέστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, ΓΑ διπλασίονα· κύκλοι ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλων, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, διπλασίονές ἐντι· ἁμικύκλια ἄρα, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ, △Γ εὐθεῖαι, κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΖΗ, ΓΑ, ἴσα ἐστίν· κοινὸν ἀφαιρήσθω κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, τουτέστι δύο ἁμικύκλια, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, △Β· λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν περιφερειῶν τῶν ἁμικυκλίων περιεχόμενον, ὅπερ σελήνιον καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ΖΗ, ἴσον ἐστίν· δῆλον οὖν τὸ προτεθέν.