Προτάσεις.

ιά. Ἐἀν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος μειζόνων ἄπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἄπτεται, κατὰ πᾶσαντὴντοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ών ἐφάπτεται τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὢν πρὸς, τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, καὶ ἐφαπτέσθω τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος ὁ ΓΖ μειζόνων ἁπτέσθω τῶν ΖΓ ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ Ζ Η δυτικὰ δὲ τὰ Β Γ· λέγω ὅτι ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατελεῖ, διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύσεται. Είλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ΖΓ περιφερείας τυχόντα τὰ Θ Κ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ών φέρεται τὰ Θ Κ σημεῖα οἱ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ ἀνατέλλει διὰμ δὲ τοῦ Β δύνει, τὸ δὲ Θ αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Μ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ Λ δύνει, ἡ ΖΘ ἄρα περιφέρεια αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΜ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΛ δύνει· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια διὰ μὲν τῆς ΜΞ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΛΜ δύνει, ἡ δὲ ΚΓ διὰ μὲν τῆς ΞΗ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΝΓ δύνει· ὅλον ἄρα τὸ ΖΓ ἡμικύκλιον αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖH περιφερείας ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον· ὥστε ὅλος ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξύ τῶν παραλλήλων κύκλων τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. ιβʹ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερόμενόν τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ αἰεὶ δίχα τέμνῃ, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται. Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος ὁ ΑΒΓ, φερόμενον δέ τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων τὸν Γ∠Β αἰεὶ δίχα τεμνέτω, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας· λέγω ὅτι ἕκάτερος τῶν ΑΓΒ Γ∠Β κύκλων μέγιστός ἐστιν. Ἕστω γὰρ αὐτῶν κοινὴτομὴ ἡ Β ἡ ΒΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ Γ∠Β κύκλου. τετμήσθωε ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ Γ∠Β κύκλου. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Ε σημεῖον αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδω καὶ κατὰ πᾶσαν περιφορὰν τῆς σφαίρας· λέγω δὴ ὅτι τὸ Ε σημεῖον ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον γράψει κύκλον πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι. γραφέτω τὸν ΕΖΗ. ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον αἰεὶ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν καὶ φέρεται κατὰ κύκλου τοῦ ΕΖΗ, ὁ ΚΖ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ὁ ΕΖΗ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα· καὶ ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος· ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἄρα ἐστίν. Λέγω δὴ ὅτι κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον. Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ ἄξων ἄρα ἐστὶ τῆς σφαίρας ἡ ΘΚ εὐθεῖα (ἑκάτερον γὰρ τῶν Θ Ε σημείων ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν). καὶ ἔπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἔστὶν ὁ ΓΔΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ Θ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ Γ∠Β κύκλου ἔπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΘΕ, ἡ ΘΕ ἄρα ὀρθή ἔστι πρὸς τὸν Γ∠Β κύκλον· ὥστε καὶ ὁ Γ∠Β κύκλος ὀρθός ἔστι πρὸς τῆ ΘΕ. καὶ ἔστιν ἡ ΘΕ ἄξων· ὁ Γ∠Β ἄρα κύκλος ὀρθός ἔστιν πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ὲστὶ τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ε τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἔστὶ τῆς σφαίρας. Καὶ ἔστιν ἔν ἑκατέρῳ τῶν ΑΒΓ ΓΔΒ κύκλων· μέγιστος ἄρα ἔστὶν ἑκάτερος τῶν ΑΒΓ Γ#8736; Β κύκλων.