Προτάσεις.

ι΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω μέγιστος τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ ΑΖΕ κύκλος, ὁ δὲ φανερὸς πόλος τῆς σφαίρας ἔστω ὁ ∠,ὁ δὲ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἔστω ὁ Β∠Γ λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ Β ∠Γ κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα. Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α ∠σημείων μέγιστος κύκλος ὁ Α∠Θ ἤξει δὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ζ∠Η Α∠Ε τὸν ΑΖΗ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελεύσεται καὶ τὸ Η τὴν ΗΕ· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Ζ τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, καὶ τὸ τὴν ΗΕ διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἡ Ζ∠Η περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ τὴν Α∠Ε περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ἀλλʼ ὁ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ ὁ Β∠Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ στρεφομένης τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τὴν ΕΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α σημείου τὴν ΑΗΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παρέσται, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ΖΔΗ περιφέρεια ἐπὶ τὴν Α∠Ε περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ὁ δὲ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ ὁ Β∠; Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ ὅταν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται, καὶ ὁ Β∠ΓΘ κύκλος θέσιν ἕξει ἣν εἶχεν ἐξ ἀρχῆς ὥστε οὐκ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα πλέον ἢ δὶς ἔσται· ἐν μιᾷ ἄρα περιφορὰ τῆς σφαίρας ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.