Προτάσεις.

γʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται, αὗταί ὅμοιαί εἰσιν. Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠,καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧβ φέρεται τὰ Γ ∠σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Γ Ε περιφέρειαν διαπορευέσθω καὶ τὸ ∠σημεῖον τὴν ∠Ζ περιφέρειαν· λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠περιφερείᾳ. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ, ἔστω ὁμοία ἡ ΓΕ τῇ ∠Η ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον τὴν ΓΕ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ∠τὴν ∠Η. ἀλλὰ καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ τὴν ΓΕ διαπορεύεται καὶ τὸ ∠τὴν ∠Ζ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠τὴν ∠Ζ διαπορεύεται καὶ τὸ ∠τὴν ∠Η. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Η τῇ ∠Ζ, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ὁμοία ἐστὶν ἢ ΓΕ τῇ ∠Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλῃ τινὶ πλὴν τῇ ∠Ζ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ.