Προτάσεις.

βʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται. Σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠λέγω ὅτι τὰ ∠σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξἐρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται. Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται τὰ Γ ∠σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ Ι ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ἔστω δὲ αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ ἤτοι δὴ ἐλεύσεται καὶ διὰ τοῦ ∠ἢ οὔ. Ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ ΑΓ∠Β, καὶ ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ ΑΓ∠Β (ε) ἡμικύκλιον, καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν ΑΕΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ ΑΓ∠Β ΑΕΖ Β, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠Ζ περιφερείᾳ· λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ἐπὶ τὸ Ζ. Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον παραγιγνέσθω τὸ δὲ ∠ἐπὶ τὸ H στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, καὶ τὸ ∠ἐπὶ τὸ Η καὶ τὸ (Ϛ) ΑΓ∠Β ἡμικύκλιον θέσιν ἔξει ὡς τὴν ΑΕΗΒ΄. καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΑΕΖΒ ΑΕΗΒ΄. κύκλων, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Βʹ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐπʼ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον. Μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν ΑΓΒ διὰ τοῦ ∠,ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ έρεται τὸ ∠σημεῖον ὁ ∠ΔΘΖ, καὶ κείσθω τῇ ΓΕ ὁμοία ἡ ∠Η. ἀλλʼ ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ∠Η ἄρα τῇ ΘΖ ἐστὶν ὁμοία. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Η περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠ἐπὶ τὸ παραγίγνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐν ὅσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, καὶ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ἐπὶ τὸ Η.