Προτάσεις.

η΄. Οἱ τῶν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι μέγιστοι κύκλοι, ὧν καὶ ὁ ὁρίζων ἅπτεται, στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. Ἔστω ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, μέγιστος δὲ τῶν μὲν αἰεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ ΛΕ, τῶν δὲ αἰεὶ φανερῶν ἔστω ὁ Α∠, ὧν ἐφάπτεται ὁ ΑΒΓ ὁρίζων, καὶ γεγράφθω τις μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν Α∠ ΛΕ ὁ ∠ΒΕΓ· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ὁ ∠ΒΕΓ κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα. Γεγράφθω γάρ τις τῷ Α∠ παράλληλος κύκλος ὁ ΗΖΘ· ἀσύμπτωτον δή ἐστιν τὸ ἀπὸ τοῦ ∠ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Γ Ζ Ε μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Η Β Λ μέρη. ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν κύκλοι οἱ Α∠ ΖΗΘ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν κύκλοι μέγιστοι οἱ ΑΒΓ ∠ΒΕΓ ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι τοῦ. Α∠, τὸν δὲ ΗΖΘ τέμνοντες, καὶ εἰσὶν μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων αἱ ∠ΚΑ ΖΗ ΛΕ περιπεριφέρεια φέρειαι, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ∠ΚΑ περιφέρεια τῇ ΖΗ καὶ τῇ ΛΕ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠τὴν ∠ΚΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται καὶ τὸ Ζ τὴν ΖΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται καὶ ἔτι τὸ Ε τὴν ΛΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται· ὥστε ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὅταν το ∠ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Η παρέσται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ∠ΖΕ ἐπὶ τὴν ΑΗΛ ὥστε καὶ ὅλος ὁ ∠ΒΚΓ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐφαρμόσει· εἰ γὰρ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο κύκλοι τεμοῦσιν ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἐφαρμόσει ὁ ∠ΒΕ κύκλος ἐπὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.