Προτάσεις.

ζ΄. Ἐὰν ὁ ὁρίζων ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλος τό τε φανερὸν τῇς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται, ἔτι δὲ καὶ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα. Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁρίζων τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς ὁ ΑΒ∠Γ λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι ἔστωσαν οἱ ΑΒ Γ∠ λέγω ὅτι οἱ ΑΒ Γ∠ κύκλοι κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται . Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ποιείσθω ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου τινὸς σημείου τὴν ἀνατολὴν τοῦ Ε, διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν, καὶ ἔστω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ καὶ τῶν τοῦ ΑΒ∠Γ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΖ ΖΕ ΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΗΖΘ κύκλον τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒ∠Γ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τοῦ ΑΒ∠Γ κύκλου. καὶ ὁ ΓΖΘ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον· κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒ∠Γ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΗΘ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΗΖΘ, καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος τοῦ ΗΖΘ περιφέρεια εἰς ἄνισα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΖΗ περιφέρεια · ἡ ΖΗ ἄρα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶντῶν ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· καὶ ἡ ἔγγιον ἄρα τῆς ΖΗ ἐλάσσων ἐστίν· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῆς ΖΒ. ἀλλὰ καὶ ἴση, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου τινὸς σημείου ἢ διὰ τοῦ Β τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ὁ Γ∠ κύκλος διὰ μὲν τοῦ ∠τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ Γ τὴν δύσιν· ὥστε οἱ ΑΒ Γ∠ κύκλοι αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ ὁρίζοντα. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ Γ∠ ΚΜ ΛΝ. ἐπεὶ ὁ ΗΖΘ κύκλος τοὺς ΑΒ Γ∠ ΑΓ∠Β κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτοὺς τεμεῖ· ὁ ΓΖΘ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΑΒ Γ∠ ΑΒ∠Γ κύκλων· ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒ ΑΒ∠Γ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ ἡ τῶν ΑΒ Γ∠ΒΑ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ ΗΖΚΘ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΗΘ ΚΜ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΗΖΘ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν Ηθ ΚΜ ὀρθή ἐστιν· ὥστε ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἐστὶν ἡ κλίσις ἔν ᾗ κέκλιται ὁ Γ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ Γ∠ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΖΘ τέμνεται, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ αἱ ΚΜ ΛΝ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΝ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ Γ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον· οἱ ΑΒ Γ∠ ἄρα κύκλοι ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον.