Α΄.

Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως. ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ, τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή, ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι, τὸ δὲ Δ θερινόν, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας ὁ πόλος τοῦ ΑΕΓ ἰσημερινοῦ καὶ ἔστω τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΕΗ περιφέρεια τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων ὑποκειμένη λ, οἵων ἐστὶν ὁ μέγιστος κύκλος τξ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Η γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ Ζ Η Θ, καὶ προκείσθω τὴν Η Θ δηλονότι εὑρεῖν. προειλήφθω δὴ καὶ ἐνταῦθα καὶ καθόλου ἐπὶ πασῶν τῶν ὁμοίων δείξεων, ἵνα μὴ καθʼ ἑκάστην ταυτολογῶμεν, ὅτι, ὅταν τὰς πηλικότητας λέγωμεν περιφερειῶν ἢ εὐθειῶν, ὅσων εἰσὶν μοιρῶν ἢ τμημάτων, ἐπὶ μὲν τῶν περιφερειῶν τοιούτων φαμέν, οἵων ἡ τοῦ μεγίστου κύκλου περιφέρεια τμημάτων τξ, ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν τοιούτων, οἵων ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ. ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β . ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον . ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ τῆς Ε Β διπλῆ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ρκ, καταλείπεται ὁ λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ κδ ιε νζ. καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ζ Θ περιφερείας μοιρῶν ρπ, ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἐστιν κδ ιε νζ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Η περιφερείας μοιρῶν ἐστιν κγ ιθ νθ, αὐτὴ δὲ ἡ Θ Η τῶν αὐτῶν ια μ ἔγγιστα. πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ, τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη, ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι. τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν· καί ἐστιν τὸ κανόνιον τοιοῦτον·