Α΄.

ιγ΄. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις. Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια βραχέα καὶ εὔχρηστα, διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων, ὡς ἔνι μάλιστα, ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα. εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἢ τε Β Ε καὶ ἡ Γ Δ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η, ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η . ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε. ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α, διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ᾿ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός ἐστιν ἡ Α Η τῇ Ε Ζ, ἔστιν, ὡς ἡ Γ Ε πρὸς Ε Α, ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ Η . ἀλλὰ τῆς Ζ Δ ἔξωθεν λαμβανομένης ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Ζ Η ἔστιν δὲ ὁ τῆς Δ πρὸς Ζ Η λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Δ Β πρὸς Β Α διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς Α Η καὶ Ζ Β διῆχθαι τὰς Β Α καὶ Ζ Η ὁ ἄρα τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α. ἀλλὰ τῷ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α καὶ ὁ τῆς Γ Ε ἄρα πρὸς Ε Α λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν. ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η, καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ, ἔστιν, ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η, οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι . ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν, ὅτι, κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν. ἐκτεθείσης γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ. ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὑποτείνουσα δεδομένη ἔσται καὶ ὅλον τὸ Α Δ Ζ τρίγωνον, δῆλον· ἐπεὶ δὲ τῆς Α Γ εὐθείας ὅλης δεδομένης ὑπόκειται καὶ ὁ τῆς Α Ε πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, ἥ τε Α Ε ἔσται δοθεῖσα καὶ λοιπὴ ἡ Ζ Ε. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς Δ Ζ δεδομένης δοθήσεται καὶ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ ΕΔΖ ὀρθογωνίου καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὥστε καὶ ἥ τε Α Β περιφέρεια δοθήσεται καὶ λοιπὴ ἡ Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε. ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ, ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ καὶ τὴν Γ Η, ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι, ὡς ἡ Γ Η, πρὸς τὴν Β Ζ, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β . ὥστε καί, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι. καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ, διότι, κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ, καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ, καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν ὑπὸ Β Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς Β Γ περιφερείας ἔσται δεδομένη· καὶ ὅλον ἄρα τὸ Β Δ Ζ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ δὲ καὶ ὅ τε τῆς Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β λόγος δέδοται καὶ ἔτι ἡ Γ Β εὐθεῖα, δοθήσεται καὶ ἥ τε Ε Β καὶ ἔτι ὅλη ἡ Ε Β ὥστε καί, ἐπεὶ ἡ Δ Ζ δέδοται, δοθήσεται καὶ ἥ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ Ε Δ Β. ὥστε καὶ ἡ Α Β περιφέρεια ἔσται δεδομένη. τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω. λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α. εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Δ Γ καὶ Α Γ τεμνέτωσαν τὰς Η Ζ καὶ Η Ε κατὰ τὸ Κ καὶ Λ σημεῖον· ἐπὶ μιᾶς δὴ γίνεται εὐθείας τὰ Θ, Κ, Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἅμα εἶναι ἐπιπέδοις τῷ τε τοῦ Α Γ Δ τριγώνου καὶ τῷ τοῦ Β Ζ Ε κύκλου, ἥτις ἐπιζευχθεῖσα ποιεῖ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΘΛ καὶ Γ Α διηγμένας τὰς Θ Λ καὶ Γ Δ τεμνούσας ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον· ὁ ἄρα τῆς Γ Λ πρὸς Λ Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Κ πρὸς Κ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ πρὸς . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Γ Λ πρὸς Λ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας, ὡς δὲ ἡ Γ Κ πρὸς Κ Δ, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ ,ὡς δὲ ἡ Θ Δ πρὸς Θ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α . καὶ ὁ λόγος ἄρα ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν δείκνυται, ὅτι καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.