ΙΒ΄.

α΄. Περὶ τῶν εἰς τὰς προηγήσεις προλαμβανομένων. Τούτων ἀποδεδειγμένων ἀκόλουθον ἂν εἴη καὶ τὰς καθʼ ἕκαστον τῶν ε πλανωμένων γινομένας προηγήσεις ἐλαχίστας τε καὶ μεγίστας ἐπισκέψασθαι καὶ δεῖξαι καὶ τὰς τούτων πηλικότητας ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων ὑποθέσεων συμφώνους ὡς ἔνι μάλιστα γινομένας ταῖς ἐκ τῶν τηρήσεων καταλαμβανομέναις. εἰς δὴ τὴν τοιαύτην διάληψιν προαποδεικνύουσι μὲν καὶ οἵ τε ἄλλοι μαθηματικοὶ καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ὡς ἐπὶ μιᾶς τῆς παρὰ τὸν ἥλιον ἀνωμαλίας, ὅτι, ἐάν τε διὰ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως γίνηται τοῦ μὲν ἐπικύκλου περὶ τὸν ὁμόκεντρον τῷ ζῳδιακῷ κύκλον τὴν κατὰ μῆκος πάροδον εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ποιουμένου, τοῦ δὲ ἀστέρος ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου περὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ τὴν τῆς ἀνωμαλίας ὡς ἐπὶ τὰ ἑπόμενα τῆς ἀπογείου περιφερείας, καὶ διαχθῇ τις ἀπὸ τῆς ὄψεως ἡμῶν εὐθεῖα τέμνουσα τὸν ἐπίκυκλον οὕτως, ὥστε τοῦ ἀπολαμβανομένου αὐτῆς ἐν τῷ ἐπικύκλῳ τμήματος τὴν ἡμίσειαν πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς ὄψεως ἡμῶν μέχρι τῆς κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐπικύκλου τομῆς λόγον ἔχειν, ὃν τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, τὸ γινόμενον σημεῖον ὑπὸ τῆς οὕτως διαχθείσης εὐθείας πρὸς τῇ περιγείῳ περιφερείᾳ τοῦ ἐπικύκλου διορίζει τάς τε ὑπολείψεις καὶ τὰς προηγήσεις, ὥστε κατʼ αὐτοῦ γινόμενον τὸν ἀστέρα φαντασίαν ποιεῖσθαι στηριγμοῦ· ἐάν τε διὰ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως ἡ παρὰ τὸν ἥλιον ἀνωμαλία συμβαίνῃ τῆς τοιαύτης ἐπὶ μόνων τῶν πᾶσαν ἀπόστασιν ἀπὸ τοῦ ἡλίου ποιουμένων γ ἀστέρων προχωρεῖν δυναμένης τοῦ μὲν κέντρου τοῦ ἐκκέντρου περὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἰσοταχῶς τῷ ἡλίῳ φερομένου, τοῦ δὲ ἀστέρος ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου περὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων ἰσοταχῶς τῇ τῆς ἀνωμαλίας παρόδῳ, καὶ διαχθῇ τις εὐθεῖα ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου κύκλου διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ, τουτέστι τῆς ὄψεως, οὕτως ἔχουσα, ὥστε τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὅλης πρὸς τὸ ἔλασσον τῶν ὑπὸ τῆς ὄψεως γινομένων τμημάτων λόγον ἔχειν, ὃν τὸ τάχος τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, κατʼ ἐκεῖνο τὸ σημεῖον γινόμενος ὁ ἀστήρ, καθʼ τέμνει ἡ εὐθεῖα τὴν περίγειον τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν, τὴν τῶν στηριγμῶν φαντασίαν ποιήσεται. καὶ ἡμεῖς δὲ οὐδὲν ἧττον ἐξ ἐπιδρομῆς εὐχρηστότερον παραστήσομεν τὸ προκείμενον κοινῇ καὶ μεμιγμένῃ δείξει χρησάμενοι κατʼ ἀμφοτέρων τῶν ὑποθέσεων πρὸς ἔνδειξιν τῆς καὶ ἐν τούτοις αὐτῶν τοῖς λόγοις συμφωνίας καὶ ὁμοιότητος. ἔστω γὰρ ἐπίκυκλος ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΑΕΓ ἐκβεβλημένη ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου, τουτέστιν τὴν ὄψιν ἡμῶν, καὶ ἀποληφθεισῶν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Γ περιγείου περιφερειῶν ἴσων τῆς τε ΓΗ καὶ τῆς ΓΘ διήχθωσαν ἀπὸ τοῦ διὰ τῶν καὶ Θ σημείων ἥ τε ΖΗΒ καὶ ἡ ΖΘ∠; ,καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ∠Η καὶ ἡ ΒΘ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον, ὃ δηλονότι ἐπὶ τῆς ΑΓ διαμέτρου πεσεῖται . λέγομεν πρῶτον, ὅτι, ὡς ἡ ΑΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἥ τε Α∠ καὶ ἡ ∠Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ παράλληλος ἤχθω τῇ Α∠ ἡ ΛΓΜ ὀρθὴ γινομένη δηλονότι πρὸς τὴν ∠Γ ,ἐπεὶ καὶ ἡ ὑπὸ Α∠Γ γωνία ὀρθή ἐστιν . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ Γ∠Η γωνία τῇ ὑπὸ Γ∠Θ ,ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΓΛ εὐθεῖα τῇ ΓΜ καὶ ἡ Α∠ ἄρα πρὸς ἑκατέραν αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΓ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΛΓ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ, οὕτως ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΓ. ἐὰν ἄρα τὸν ΑΒΓ∠ ἐπίκυκλον ὡς ἐπὶ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως αὐτὸν νοήσωμεν τὸν ἔκκεντρον, τὸ Κ σημεῖον τὸ κέντρον ἔσται τοῦ ζῳδιακοῦ, καὶ διαιρεθήσεται ὑπʼ αὐτοῦ ἡ ΑΓ διάμετρος εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως, ἐπειδήπερ ἐδείξαμεν, ὅτι, ὃν ἔχει λόγον ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου τὸ Α Ζ μέγιστον ἀπόστημα πρὸς τὸ ΖΓ ἐλάχιστον ἀπόστημα, τοῦτον ἔχει καὶ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὸν λόγον τὸ ΑΚ μέγιστον ἀπόστημα πρὸς τὸ ΚΓ ἐλάχιστον ἀπόστημα. λέγομεν δʼ, ὅτι καί, ὅν ἔχει λόγον ἡ ∠Ζ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΘ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον καὶ ἡ ΒΚ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΘ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἡ ΒΝ∠ εὐθεῖα ὀρθὴ γινομένη δηλονότι πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ,καὶ ἀπὸ τοῦ ἤχθω αὐτῇ παράλληλος ἡ ΘΞ. ἐπεὶ τοίνυν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΝ τῇ Ν∠; ,ἑκατέρα ἄρα αὐτῶν πρὸς τὴν ΞΘ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Ν∠ πρὸς τὴν ΞΘ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ, ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΞΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΘ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠πρὸς ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ. καὶ συνθέντι ἄρα, ὡς ἡ ∠Ζ, ΖΘ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ ,καὶ διελόντι καθέτων ἀχθεισῶν τῶν ΕΟ καὶ ΕΠ, ὡς ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΠΘ πρὸς τὴν ΚΘ . καὶ ἔτι διελόντι, ὡς ἡ ΟΘ πρὸς τὴν Ζῶ, οὕτως ἡ ΠΚ πρὸς τὴν ΚΘ ἐὰν ἄρα ἐπὶ τῆς κατʼ ἐπίκυκλον ὑποθέσεως ἡ ∠Ζ οὕτως διηγμένη, ὥστε τὴν ΟΘ πρὸς τὴν Ζῶ λόγον ἔχειν, ὅν τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ ἐπὶ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως ἡ ΠΚ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΘ. αἴτιον δὲ τοῦ μὴ καὶ ἐνθάδε πρὸς τοὺς στηριγμοὺς τῷ διῃρημένῳ τούτῳ λόγῳ κεχρῆσθαι, τουτέστι τῷ τῆς ΠΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ἀλλὰ τῷ ἀδιαιρέτῳ, τουτέστι τῷ τῆς ΠΘ πρὸς τὴν ΚΘ, τὸ τοῦ μὲν ἐπικύκλου τὸ τάχος πρὸς τὸ τοῦ ἀστέρος λόγον ἔχειν, ὃν ἡ κατὰ μῆκος μόνον πάροδος πρὸς τὴν τῆς ἀνωμαλίας, τοῦ δὲ ἐκκέντρου τὸ τάχος πρὸς τὸ τοῦ ἀστέρος λόγον ἔχειν, ὃν ἡ τοῦ ἡλίου μέση πάροδος, τουτέστιν ἥ τε κατὰ μῆκος καὶ ἡ τῆς ἀνωμαλίας τοῦ ἀστέρος συντεθεῖσα, πρὸς τὴν τῆς ἀνωμαλίας· ὥστε λόγου ἕνεκεν ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἄρεως ἀστέρος τὸν μὲν τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος λόγον εἶναι τὸν τῶν μβ ἔγγιστα πρὸς τὰ λζ· ὁ γὰρ τῆς κατὰ μῆκος παρόδου λόγος πρὸς τὴν τῆς ἀνωμαλίας τοσοῦτος ἔγγιστα ἡμῖν ἀπεδείχθη · καὶ διὰ τοῦτο τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον καὶ τὴν ΟΘ πρὸς τὴν ΘΖ· τὸν δὲ τοῦ τάχους τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος τὸν συναμφοτέρων τῶν οθ πρὸς τὰ λζ, τουτέστι συντεθειμένως τὸν τῆς ΠΘ πρὸς τὴν ΘΚ, ἐπειδὴ ὁ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς ΠΚ πρὸς τὴν ΚΘ λόγος ὁ αὐτὸς ἦν τῷ τῆς ΟΘ πρὸς τὴν Θ Ζ, τουτέστι τῷ τῶν μβ πρὸς τὰ λζ. καὶ ταῦτα μὲν ἡμῖν ἔστω μέχρι τοσούτου προτεθεωρημένα· καταλειπομένου δὲ δειχθῆναι, διότι τῶν εἰς τὸν τοιοῦτον λόγον διαιρουμένων εὐθειῶν ληφθεισῶν ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ὑποθέσεων τὰ Η καὶ Θ σημεῖα περιέξει τὰς τῶν στηριγμῶν φαντασίας, καὶ τὴν μὲν ΗΓΘ περιφέρειαν προηγητικὴν ἀνάγκη γίγνεσθαι, τὴν δὲ λοιπὴν ὑπολειπτικήν, προλαμβάνει λημμάτιον ὁ Ἀπολλώνιος τοιοῦτον, ὅτι, ἐὰν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ μείζονα ἔχοντος τὴν ΒΓ τῆς ΑΓ ἀποληφθῇ ἡ Γ ∠μὴ ἐλάσσων τῆς ΑΓ, ἡ Γ ∠πρὸς τὴν Β ∠μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Β ΓΑ. δείκνυσι δʼ οὕτως· συμπεπληρώσθω γάρ, φησίν, τὸ Α∠ΓΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ Β Α καὶ ΓΕ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ σημεῖον. ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΓ οὔκ ἐστιν ἐλάσσων, ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι τῷ ΑΕ γραφόμενος κύκλος ἤτοι διὰ τοῦ Γ ἐλεύσεται ἢ ὑπὲρ τὸ Γ γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Γ ὁ ΗΕΓ. καὶ ἐπεὶ μεῖζον μέν ἐστιν τὸ ΑΕ Ζ τρίγωνον τοῦ ΑΕΗ τομέως, ἔλασσον δὲ τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τομέως, μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΑΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΕΓ ἤπερ ὁ ΑΕΗ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΕΓ τομέα. ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΕΗ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΕΓ, οὕτως ἡ ὑπὸ Ε ΑΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΓ γωνίαν, ὡς δὲ τὸ ΑΕ Ζ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΕΓ. οὕτως ἡ ΖΕ βάσις πρὸς τὴν ΕΓ · μείζονα λόγον ἄρα ἔχει ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΓ ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΓ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΓ. οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Β ,ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ · καὶ ἡ Γ∠ ἄρα πρὸς τὴν ∠Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ. φανερὸν δʼ, ὅτι καὶ πολλῷ μείζων ὁ λόγος ἔσται μὴ ἴσης ὑποτιθεμένης τῇ ΑΓ τῆς Γ∠; ,τουτέστι τῆς ΑΕ, ἀλλὰ μείζονος. τούτου προληφθέντος ἔστω ἐπίκυκλος ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΕΓ, ἥτις ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον τῆς ὄψεως ἡμῶν οὕτως, ὥστε τὴν ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος. δυνατὸν ἄρα διαγαγεῖν τὴν ΖΗΒ εὐθεῖαν οὕτως ἔχουσαν, ὥστε τὴν ἡμίσειαν τῆς ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ λόγον ἔχειν, ὃν τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος. κἂν διὰ τὰ προδεδειγμένα ἀπολάβωμεν ἴσην τῇ ΑΒ περιφερείᾳ τὴν Α∠ καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ∠ΘΗ, τὸ μὲν Θ σημεῖον ἐπὶ τῆς κατʼ ἐκκεντρότητα ὑποθέσεως ὄψις ἡμῶν νοηθήσεται, ἡ δʼ ἡμίσεια τῆς ∠Η πρὸς τὴν Θ λόγον ἔξει, ὃν τὸ τάχος τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος . λέγομεν δή, ὅτι κατὰ τὸ Η σημεῖον γενόμενος ὁ ἀστὴρ ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ὑποθέσεων φαντασίαν στηριγμοῦ ποιήσεται, καὶ ἡλίκην ἂν ἀπολάβωμεν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Η περιφέρειαν, τὴν μὲν πρὸς τῷ ἀπογείῳ ἀπολαμβανομένην ὑπολειπτικὴν εὑρήσομεν, τὴν δὲ πρὸς τῷ περιγείῳ προηγητικήν. ἀπειλήφθω γὰρ πρὸς τῷ ἀπογείῳ πρῶτον τυχοῦσα ἡ Κ Η περιφέρεια, καὶ διήχθωσαν ἥ τε ΖΚ Λ καὶ ἡ ΚΘΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΒΚ καὶ ἡ ∠Κ καὶ ἔτι ἥ τε ΕΚ καὶ ἡ ΕΗ. ἐπεὶ τοίνυν τριγώνου τοῦ Β ΚΖ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΗ τῆς ΒΚ ,μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΖΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΗΒΚ γωνίαν · ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΖΚ γωνία πρὸς τὴν διπλῆν τῆς ὑπὸ ΚΒΗ, τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΚΕΗ γωνίαν . λόγος δὲ τῆς ἡμισείας τῆς Β Η πρὸς τὴν Ζ ὁ τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ ὑπὸ ΗΖ Κ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΚΕΗ ἤπερ τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος. ἡ ἄρα τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΚΕΗ τῷ τάχει τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΗΖΚ. ἔστω δὴ ἡ ὑπὸ ΗΖΜ. ἐπεὶ οὖν, ἐν ὅσῳ χρόνῳ τὴν Κ Η τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν ὁ ἀστὴρ κινεῖται, ἐν τοσούτῳ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τὰ ἐναντία κεκίνηται τὴν ἴσην τῇ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἐπὶ τὴν ΖΝ διαστάσει πάροδον, φανερόν, ὅτι ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ ἐλάσσονα γωνίαν πρὸς τῇ ὄψει ἡμῶν ἡ Κ Η τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια εἰς τὰ προηγούμενα μετενήνοχεν τὸν ἀστέρα τὴν ὑπὸ ΗΖΚ, ἧς αὐτὸς ὁ ἐπίκυκλος μετεβίβασεν αὐτὸν εἰς τὰ ἑπόμενα, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΗΖΝ γωνίας· ὥστε ὑπολελεῖφθαι τὸν ἀστέρα τὴν ὑπὸ ΚΖΝ γωνίαν. ὁμοίως κἂν ὡς ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου κύκλου λογιζώμεθα, ἐπεὶ ἡ Β Η πρὸς τὴν Η μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΖΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΗΒΚ, καὶ συνθέντι ἄρα ἡ Β πρὸς τὴν Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ Β Κ Λ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΗΒΚ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΗ ,ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΚ Λ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΚΜ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΚ τῇ ὑπὸ Η∠Κ · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει καὶ ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΗ ἤπερ ἡ ὑπὸ ∠K Μ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Η∠Κ. ὥστε καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει ἡ ∠Η πρὸς τὴν ΗΘ ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΘΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Η∠Κ καὶ διελόντι ἄρα μείζονα λόγον ἔχει ἡ τῆς ∠Η ἡμίσεια πρὸς τὴν ΗΘ ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΘΚ γωνία πρὸς τὴν διπλῆν τῆς ὑπὸ Η∠Κ, τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΗΕΚ . λόγος δὲ τῆς ἡμισείας τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΘΗ ὁ τοῦ τάχους τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ ὑπὸ ΗΘΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΗΕΚ ἤπερ τὸ τάχος τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος. ἡ ἄρα τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΗΕΚ τῷ τάχει τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΗΘΚ γωνίας. ἔστω δὴ πάλιν ἡ ὑπὸ ΗΘΝ. ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἀστὴρ αὐτὸς μὲν τὴν ΚΗ περιφέρειαν κινηθεὶς μεταβέβηκεν εἰς τὰ προηγούμενα τὴν ὑπὸ ΚΕΗ γωνίαν, ὑπὸ δὲ τῆς αὐτοῦ τοῦ ἐκκέντρου κινήσεως εἰς τὰ ἑπόμενα μετεβιβάσθη τὴν ὑπὸ ΗΘ Ν γωνίαν μείζονα οὖσαν τῆς ὑπὸ ΚΘΗ, φανερόν, ὅτι καὶ οὕτως ὁ ἀστὴρ τὴν ὑπὸ Κ Θ Ν γωνίαν ὑπολελειμμένος φανήσεται. εὐσύνοπτον δʼ, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν δειχθήσεται καὶ τὸ ἐναντίον, ἐὰν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς τὴν μὲν τῆς ΛΚ ἡμίσειαν πρὸς τὴν Κ Ζ ὑποθώμεθα λόγον ἔχειν, ὃν ἔχει τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, ὥστε καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΜΚ πρὸς τὴν ΘΚ λόγον ἔχειν, ὃν ἔχει τὸ τάχος τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, τὴν δὲ ΚΗ περιφέρειαν ὡς πρὸς τὸ περίγειον τῆς Λ Ζ εὐθείας νοήσωμεν ἀπειλημμένην. ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΛΗ καὶ ποιούσης τρίγωνον τὸ Λ ΖΗ, ἐν ᾧ μείζων ἀπείληπται ἡ ΖΚ τῆς ΖΗ, ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΖ ἤπερ ἡ ὑπὸ ΗΖΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΗΛ Κ . ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΛΚ πρὸς τὴν Κ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΖΚ γωνία πρὸς τὴν διπλῆν τῆς ὑπὸ ΗΛΚ, τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΚΕΗ γωνίαν ,ἀνάπαλιν ἢ ὥσπερ ἔμπροσθεν ἐδείχθη. καὶ συναχθήσεται διὰ τῶν αὐτῶν, ὅτι τὸ ἐναντίον ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία ἐλάσσονα λόγον ἔχει πρὸς μὲν τὴν ὑπὸ ΗΖΚ γωνίαν ἤπερ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου, πρὸς δὲ τὴν ὑπὸ ΗΘΚ ἤπερ τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἐκκέντρου· ὥστε τῆς τὸν αὐτὸν λόγον ἐχούσης μείζονος γινομένης τῆς ὑπὸ ΚΕΗ γωνίας μείζονα καὶ τὴν προηγητικὴν μετάβασιν τῆς ὑπολειπτικῆς ἀποτελεῖσθαι. φανερὸν δʼ, ὅτι καί, ἐφʼ ὧν ἀποστημάτων οὐ μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, οὔτε δυνατὸν ἔσται διαγαγεῖν ἄλλην εὐθεῖαν ἐν τῷ ἴσῳ λόγῳ, οὔτε στηρίζων ἢ προηγούμενος φανήσεται ὁ ἀστήρ. ἐπεὶ γὰρ ἐν τριγώνῳ τῷ ΕΚΖ ἀπείληπται ἡ ΕΓ εὐθεῖα οὐκ ἐλάσσων τῆς ΕΚ, ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἡ ὑπὸ ΓΖΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΕΚ ἤπερ ἡ ΕΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΖ . λόγος δὲ τῆς ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ οὐ μείζων τοῦ τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἕξει καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖ Κ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΕΚ ἤπερ τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος. ὥστʼ, ἐπεὶ δέδεικται ἡμῖν, ὅπου ἂν τοῦτο συμβαίνῃ, ὑπολελειμμένος ὁ ἀστήρ, οὐδεμίαν εὑρήσομεν τοῦ ἐπικύκλου καὶ τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν, καθʼ ἣν προηγούμενος φανήσεται.