ΙΒ΄.

β΄. Ἀπόδειξις τῶν τοῦ τοῦ Κρόνου προηγήσεων. Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐκθησόμεθα λοιπὸν τὸν τῶν προηγήσεων ἐπιλογισμὸν καθʼ ἕκαστον τῶν ἀστέρων ἀκολούθως ταῖς ἀποδεδειγμέναις ὑποθέσεσιν ἀπὸ τοῦ τοῦ Κρόνου ποιησάμενοι τὴν ἀρχὴν τρόπῳ τοιῷδε· ἔστω γὰρ ὁ κύκλος ὁ τὸ κέντρον φέρων τοῦ ἐπικύκλου ὁ ΑΒ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ Β, ἐφʼ ἧς ὑποκείσθω τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ, τουτέστιν ἡ ὄψις ἡμῶν, κατὰ τὸ Γ, καὶ γραφέντος περὶ τὸ Α κέντρον τοῦ ∠ΕΖΗ ἐπικύκλου διήχθω ἡ ΓΖΕ εὐθεῖα οὕτως, ὥστε καθέτου ἐπʼ αὐτὴν ἀχθείσης τῆς ΑΘ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΕΖ, τουτέστιν τὴν Θ Ζ, πρὸς τὴν ΖΓ λόγον ἔχειν, ὃν τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος· ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ὁ ἐπίκυκλος κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τὴν θέσιν ἔχων, ὥστε τὰς περιοδικὰς κινήσεις μήκους τε καὶ ἀνωμαλίας τὰς αὐτὰς ἔγγιστα γίνεσθαι ταῖς πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ θεωρουμέναις. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τοῦ τοῦ Κρόνου ἀστέρος, οἵων ἐστὶν ἡ ΓΑ τοῦ μέσου ἀποστήματος ξ, τοιούτων ἐδείξαμεν τὴν Α ∠ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ϛ U+2220΄, ὥστε τὴν μὲν ∠γ ὅλην γίνεσθαι ξϚ λ, λοιπὴν δὲ τὴν ΓΗ τῶν αὐτῶν νγ λ, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν περιχόμενον ὀρθογώνιον γφνζ με, ἴσον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ΓΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΓ. ΓΖ περιεχομένῳ, ἕξομεν καὶ τὺ ὑπὸ ΕΓ ΓΖ τῶν αὐτῶν γφνζ με. πάλιν, ἐπεὶ ταῖς μέσαις παρόδοις ἀκολούθως, οἵου ἐστὶν ἑνὸς τὸ τάχος τοῦ ἐπικύκλου, τουτέστιν ἡ Θ Ζ εὐθεῖα, τοιούτων ἐστὶν κη κε μϛ ἔγγιστα τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος, τουτέστιν ἡ ΖΓ εὐθεῖα, ὥστε καὶ τὴν μὲν ΕΓ ὅλην συνάγεσθαι λ κε μϛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΓ, Γ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῶν αὐτῶν ωξε ε λβ, ἐὰν παραβάλωμεν παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ωξε ε λβ τὰ γφνζ με καὶ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων δ ϛ με τὴν πλευρὰν λαβόντες τὰ β α μ πολυπλασιάσωμεν χωρὶς ἐπί τε τὸν τῆς ΘΖ τοῦ ἑνὸς ἀριθμὸν καὶ ἐπὶ τὸν τῶν κη κε μϚ τῆς ΖΓ, ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΘΖ τοιούτων β α μ, οἵων ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, Γ ὀρθογώνιον γφνζ με, τὴν δὲ ΖΓ τῶν αὐτῶν νζ λη νε. ἐπεὶ τοίνυν ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΖ, οἵων μέν ἐστιν ϛ λ ἡ Α Ζ, τοιούτων ἐστὶν ἡ ΖΘ εὐθεῖα β α μ, οἵων δὲ ρκ, τοιούτων λζ κϚ θ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΘΖ περιφέρεια τοιούτων λϚ κα ιε, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Α ΖΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΑΘ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων λϚ κα ιε, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιη ι λη ἔγγιστα. πάλιν, ἐπεί, οἵων μέν ἐστιν ξ ἡ Γ ΗΑ ὑποτείνουσα, τοιούτων συνάγεται καὶ ἡ ΓΖΘ ὅλη νθ μ λε, οἵων δὲ ρκ, τοιούτων ριθ κα ι, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Γ Θ περιφέρεια τοιούτων ρξη ε λθ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΓΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ρξη ε λθ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων πδ β ν ἔγγιστα. διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν μὲν ὑπὸ ΑΓΘ γωνίαν ἕξομεν τῶν λοιπῶν εἰς τὴν α ὀρθὴν ε νζ ι, τὴν δὲ ὑπὸ Ζ ΑΗ τῶν μετὰ τὴν ὑπὸ ΖΑΘ γωνίαν ξε νβ ιβ. ἐπειδὴ οὖν κατὰ μὲν τὸν αʹ στηριγμὸν ἐπὶ τῆς ΓΖ φαίνεται ὁ ἀστήρ, κατὰ δὲ τὴν ἀκρώνυκτον ἐπὶ τῆς ΓΗ, δῆλον, ὅτι, εἰ μὲν μηδὲν ἐκινεῖτο εἰς τὰ ἑπόμενα τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου, αἱ τῆς ΖΗ περιφερείας αὐτοῦ μοῖραι ξε νβ ιβ περιεῖχον ἂν προηγήσεως τὰς τῆς ὑπὸ ΑΓ Ζ γωνίας μοίρας ε νζ ι, ἐπεὶ δὲ κατὰ τὸν ἐκκείμενον λόγον τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τάχος τοῦ ἀστέρος ἐπιβάλλουσι τοῖς προκειμένοις τῆς ἀνωμαλίας τμήμασιν ξε νβ ιβ μήκους μοῖραι β ιθ ἔγγιστα, τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν στηριγμῶν ἐπὶ τὴν ἀκρώνυκτον προήγησιν ἕξομεν τῶν λοιπῶν μοιρῶν γ λη ι καὶ ἡμερῶν ξθ, ἐν ὅσαις ἔγγιστα τὰς β ιθ μοίρας τοῦ περιοδικοῦ μήκους ὁ ἀστὴρ κινεῖται, τὴν δὲ ὅλην προήγησιν μοιρῶν ζ ιϚ κ καὶ ἡμερῶν ρλη. ἑξῆς δὲ τὰς περὶ τὸ μέγιστον ἀπόστημα πηλικότητας ἐπισκεψόμεθα διὰ τῶν αὐτῶν, τουτέστιν ὅταν ἡ μὲν μέση τῶν στηριγμῶν ἀκρώνυκτος κατʼ αὐτὸ τὸ ἀπογειότατον τοῦ ἐκκέντρου σημεῖον τὸ κέντρον ποιῇ τοῦ ἐπικύκλου, τῶν δὲ στηριγμῶν ἑκάτερον δηλονότι περὶ τὴν σύνεγγυς τῶν πρὸς μέσον λόγον δεδειγμένων β ιθ μοιρῶν ἀπὸ τῆς ἀκρωνύκτου, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ διευκρινημένου μήκους, διάστασιν· καθʼ ἣν θέσιν ἡ μὲν Α Γ εὐθεῖα τοῦ τότε ἀποστήματος ἀδιαφοροῦσα τῆς τοῦ μεγίστου διὰ τῶν προεφωδευμένων ἡμῖν θεωρημάτων καταλαμβάνεται, ἡ δὲ τῇ α μοίρᾳ τοῦ μήκους ἐπιβάλλουσα προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῶν λ ἔγγιστα· ὥστε τὸ διευκρινημένον μῆκος πρὸς τὴν διευκρινημένην ἀνωμαλίαν, τουτέστιν τὸ φαινόμενον τότε τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ φαινόμενον τάχος τοῦ ἀστέρος, λόγον ἔχει, ὃν τὰ ο νγ λ πρὸς τὰ κη λβ ιϛ. ἐπεὶ οὖν τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐκτεθείσης, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου Ϛ λ, τοιούτων ἐστὶν ἡ ΓΑ ἀδιαφοροῦσα τοῦ μεγίστου ἀποστήματος ξγ κε, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ∠Γ ὅλη συνάγεται ξθ νε, ἡ δὲ ΓΗ λοιπὴ νε, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΓΖ, περιεχόμενον ὀρθογώνιον γϠοθ κὲ κε, ἐστὶν δὲ καί, οἵων ἡ μὲν ΖΘ ὑπόκειται τοῦ τάχους τοῦ ἐπικύκλου ο γ λ, τοιούτων ἡ ΓΖ τοῦ τάχους τοῦ ἀστέρος κη λβ ιϚ, ἡ δὲ ΕΓ ὅλη λ ιθ ιϛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΖ τοιούτων ωξε ιζ ν, παραβάλλοντες πάλιν τὰ γϠοθ κε κε παρὰ τὰ ωξε ιζ ν καὶ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων δ λε νϚ τὴν πλευρὰν τὰ β η μ πολυπλασιάσαντες χωρὶς ἐπί τε τὰ τῆς ΘΖ εὐθείας ο νγ λ καὶ ἐπὶ τὰ τῆς ΖΓ ὁμοίως κη λβ ιϚ τὴν μὲν Θ Ζ ἕξομεν τοιούτων α νδ μδ, οἵων ἡ μὲν ΑΖ ἐστιν ϛ λ, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως ξγ κε, τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν ξα ια νβ, τὴν δὲ ΓΘ ὅλην ξγ ϛ λϛ. καὶ οἵων μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ Α Ζ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων ἡ ΘΖ ἔσται λε ιη θ, οἵων δὲ καὶ ἡ ΓΑ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων ἡ Γ Θ εὐθεῖα ριθ κε ια. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς Θ Ζ περιφέρεια τοιούτων ἔσται λδ ιγ δ, οἵων ὁ περὶ τὸ Α ΖΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΘ τοιούτων ρξη μγ λη, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΓ Θ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. καὶ οἵων μὲν ἄρα εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΘ γωνία ἔσται λδ ιγ δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως ρξη μγ λη, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑ γωνία ιζ ϛ λβ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως πδ κα μθ· ὥστε καὶ λοιπὴν μὲν τὴν ὑπὸ ΑΓΘ γωνίαν τοῦ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν στηριγμῶν ἐπὶ τὴν ἀκρώνυκτον, εἰ μηδενὸς ὁ ἐπίκυκλος ὑπελείπετο προηγήσεως, τμημάτων ἕξομεν ε λη ια, λοιπὴν δὲ καὶ τὴν ὑπὸ Ζ ΑΗ γωνίαν τῆς κατὰ τὴν αὐτὴν διάστασιν φαινομένης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου παρόδου τμημάτων ξζ ιε ιζ. οἷς ἐπειδὴ κατὰ τοὺς ἐπὶ τοῦ ἀπογείου τῶν ταχῶν λόγους ἐπιβάλλουσι τοῦ διευκρινημένου μήκους μοῖραι β Ϛ Ϛ, τὴν μὲν ἡμίσειαν τῆς ὅλης προηγήσεως ἕξομεν τῶν λοιπῶν γ λβ ε μοιρῶν καὶ ἡμερῶν ο γ΄, ἐν ὅσαις ὁ ἀστὴρ ἔγγιστα κινεῖται τὰς ἐπιβαλλούσας ταῖς προκειμέναις τοῦ διευκρινημένου μήκους μοίραις β Ϛ Ϛ περιοδικὰς μοίρας β κα κε, τὴν δὲ ὅλην προήγησιν μοιρῶν ζ δ ι καὶ ἡμερῶν ρμ ??. πάλιν καὶ τὰς περὶ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα πηλικότητας ἐπισκεψόμεθα διὰ τῶν ὁμοίων ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς, ὅταν ἡ μὲν μέση τῶν στηριγμῶν ἀκρώνυκτος κατʼ αὐτὸ τὸ περιγειότατον τοῦ ἐκκέντρου γίνηται, τῶν δὲ στηριγμῶν ἑκάτερος περὶ τὴν ἐκκειμένην ἀπὸ τῆς ἀκρωνύκτου, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ περιγείου, κατὰ μῆκος διάστασιν· καθʼ ἣν θέσιν ἡ μὲν ΑΓ τοῦ τότε ἀποστήματος ἀδιαφοροῦσα ὡσαύτως τῆς τοῦ ἐλαχίστου καταλαμβάνεται, ἡ δὲ τῇ μιᾷ μοίρᾳ τοῦ μήκους ἐπιβάλλουσα προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῶν ζ ἔγγιστα· ὥστε καὶ ἐνθάδε τὸ φαινόμενον τάχος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ φαινόμενον τάχος τοῦ ἀστέρος λόγον ἔχειν, ὃν τὰ α ζ κ πρὸς τὰ κη ιη κϚ, καὶ διὰ τοῦτο, οἵων ἐστὶν ἡ Θ εὐθεῖα α ζ κ, τοιούτων τὴν μὲν Γ Ζ γίνεσθαι κὴ ιη κϛ, τὴν δὲ ΕΓ ὅλην τοιούτων λ λγ Ϛ, τὸ δʼ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ωξδ μθ ν. ἐπεὶ οὖν καί, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Α ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου Ϛ λ, τοιούτων ἐστὶν ἡ ΑΓ ἀδιαφοροῦσα τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος νϚ λε, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ∠Γ ὅλη τῶν αὐτῶν ξγ ε, ἡ δὲ Γ λοιπὴ ν καὶ ἑξηκοστῶν ε, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΖ, περιεχόμενον ὀρθογώνιον γρνθ κὲ κε, ἐὰν ὡσαύτως παραβάλωμεν τὰ γρνθ κε κε παρὰ τὰ ωξδ μθ νη καὶ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γινομένων γ λθ ιβ τὴν πλευρὰν λαβόντες τὰ α νδ μβ πολυπλασιάσωμεν χωρὶς ἐπί τε τὰ τῆς ΘΖ εὐθείας α ζ κ καὶ ἐπὶ τὰ τῆς ΖΓ ὁμοίως κη ιη κϛ, τὴν μὲν ΘΖ ἕξομεν τοιούτων β η μγ, οἵων ἡ μὲν ΑΖ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἐστὶν Ϛ λ, ἡ δὲ ΑΓ τοῦ τότε ἀποστήματος νς λε, τὴν δὲ ΓΖ τῶν αὐτῶν νδ Ϛ κβ, τὴν δὲ ΓΘ ὅλην ὁμοίως νϚ ιε ε. καὶ οἵων μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ Α Ζ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων ἡ ΘΖ εὐθεῖα ἔσται λθ λϚ ιη, οἵων δὲ καὶ ἡ ΓΑ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ ΓΘ ὁμοίως ριθ ιζ μϚ· διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΖΘ περιφέρεια τοιούτων λη λβ λδ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΖΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΘ τοιούτων ρξζ λδ νδ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΓΘ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. ὥστε καί, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΘ γωνία ἔσται λη λβ λδ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως ρξζ λδ νδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑ γωνία ιθ ιϛ ιζ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΘ ὁμοίως πγ μζ κζ. καὶ λοιπὴν μὲν ἄρα τὴν ὑπὸ ΑΓ Θ γωνίαν τῆς ἀπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν στηριγμῶν ἐπὶ τὴν ἀκρώνυκτον παρὰ τὸ τοῦ ἀστέρος τάχος προηγήσεως τμημάτων ἕξομεν Ϛ ιβ λγ, λοιπὴν δὲ καὶ τὴν ὑπὸ Ζ ΑΗ γωνίαν τῆς κατὰ τὴν αὐτὴν διάστασιν φαινομένης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου παρόδου τμημάτων ξδ λα ι· οἷς ἐπειδὴ κατὰ τὸν ἐπὶ τοῦ περιγείου τῶν ταχῶν λόγον ἐπιβάλλουσι τοῦ διευκρινημένου μήκους μοῖραι β λγ κη, τὴν μὲν ἡμίσειαν τῆς ὅλης προηγήσεως ἕξομεν μοιρῶν γ λθ ε καὶ ἡμερῶν ξη, ἐν ὅσαις ὁ ἀστὴρ ἔγγιστα μέσως κινεῖται τὰς ἐπιβαλλούσας ταῖς προκειμέναις τοῦ διευκρινημένου μήκους μοίραις β λγ κὴ περιοδικὰς μοίρας β ιϚ με, τὴν δὲ ὅλην προήγησιν μοιρῶν ζ ιη ι καὶ ἡμερῶν ρλϚ.