ΙΓ΄.

γ΄. Περὶ τῆς καθʼ ἑκάστην τῶν ἐγκλίσεων καὶ λοξώσεων πηλικότητος. Τὴν μὲν οὖν καθόλου θέσιν καὶ τάξιν τῆς τῶν κύκλων ἐγκλίσεως ἀπὸ τούτων ἄν τις ἐπιλογίσαιτο· τὰς δὲ κατὰ μέρος ἐφʼ ἑκάστου τῶν ἀστέρων πηλικότητας τῶν περιφερειῶν, ἃς αἱ ἐγκλίσεις ἀπολαμβάνουσιν τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ἐγκλινομένου καὶ ὀρθοῦ πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον γραφομένου μεγίστου κύκλου, πρὸς ὃν αἱ κατὰ πλάτος πάροδοι θεωροῦνται, ἐπὶ μὲν Ἀφροδίτης καὶ Ἑρμοῦ παρέχουσιν εὐεπιλογίστους αἱ φαινόμεναι κατὰ τὰς ἐκκειμένας θέσεις τοῦ πλάτους πάροδοι. ὅταν μὲν γὰρ κατὰ τὰ ἀπόγεια καὶ περίγεια τῶν ἐκκέντρων αἱ κατὰ μῆκος αὐτῶν ὦσι κινήσεις, περὶ μὲν τὰ περίγεια καὶ ἀπόγεια τῶν ἐπικύκλων παροδεύοντες οἱ ἀστέρες, ὡς ἔφαμεν ἀπὸ τῶν πλησίον τηρήσεων τῆς ἐπιβολῆς ἡμῖν γινομένης, τῷ ἴσῳ βορειότεροι ἢ νοτιώτεροι φαίνονται τοῦ διὰ μέσων, ὁ μὲν τῆς Ἀφροδίτης ἕκτῳ που μάλιστα μιᾶς μοίρας ἀεὶ βορειότερος, ὁ δὲ τοῦ Ἑρμοῦ ἡμίσει καὶ τετάρτῳ μέρει ἀεὶ νοτιώτερος, ὡς ἐκ τούτων καὶ τὰς τῶν ἐκκέντρων κύκλων ἐγκλίσεις ἑκατέρου τηλικαύτας γίγνεσθαι· περὶ δὲ τὰς μεγίστας τοῦ ἡλίου διαστάσεις ἀμφότεροι ε που μοίραις κατὰ μέσον λόγον βορειότεροι ἢ νοτιώτεροι φαίνονται τῶν ἐναντίων μεγίστων ἀποστάσεων, ἐπειδήπερ ὁ μὲν τῆς Ἀφροδίτης ἀδιαφόρῳ τῶν ε μοιρῶν ἐλάττοσι μὲν ἐπὶ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου, πλείοσι δὲ ἐπὶ τοῦ περιγείου φαίνεται τὴν εἰρημένην κατὰ πλάτος ἐναντίωσιν ποιούμενος, ὁ δὲ τοῦ Ἑρμοῦ ἡμίσει μάλιστα μιᾶς μοίρας, ὡς τὰς ἐπὶ τὰ ἕτερα τῶν κατὰ τοὺς ἐκκέντρους ἐπιπέδων λοξώσεις τοῦ ἐπικύκλου κατὰ μέσον λόγον δύο που καὶ ἥμισυ μοίρας ὑποτείνειν τοῦ πρὸς ὀρθὰς κύκλου τῷ ζῳδιακῷ, ἀφʼ ὧν καὶ αἰ πηλικότητες τῶν γωνιῶν τῶν γινομένων ὑπὸ τῆς τῶν ἐπικύκλων λοξώσεως πρὸς τὰ τῶν ἐκκέντρων ἐπίπεδα λαμβάνονται, καθάπερ ἐν τοῖς ἐξῆς περὶ αὐτῶν ἀποδειχθησομένοις ἔσται δῆλον, ἵνα μὴ κατὰ τὸ παρὸν διακόπτωμεν τὸν περὶ τῶν ἐγκλίσεων κοινῶς ἐπὶ τῶν ε πλανωμένων λόγον. ὅταν δὲ κατὰ τοὺς συνδέσμους καὶ τὰς μέσας ἔγγιστα ἀποστάσεις αἱ κατὰ μῆκος διευκρινημέναι κινήσεις ὦσιν, ὁ μὲν τῆς Ἀφροδίτης περὶ μὲν τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου τὴν πάροδον ποιούμενος βορειότερος καὶ νοτιώτερος φαίνεται τοῦ διὰ μέσων μοίρᾳ ᾱ, περὶ δὲ τὸ περίγειον μοίραις Ϛ καὶ γ΄ ἔγγιστα, ὡς ἐκ τούτων καὶ τὴν ἔγκλισιν τοῦ ἐπικύκλου β καὶ U+2220΄ μοίρας ἀπολαμβάνειν τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ, καθʼ ὃν εἰρήκαμεν τρόπον, γραφομένου κύκλου· τὰς γὰρ τοσαύτας εὑρίσκομεν ἐκ τῆς κατὰ τὸν ἐπίκυκλον ἀνωμαλίας περὶ τὰ μέσα τῶν ἀποστημάτων κατὰ μὲν τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου ὑποτεινούσας πρὸς τῇ ὄψει γωνίαν μοίρας ᾱ καὶ ἑξηκοστῶν β, κατὰ δὲ τὸ περίγειον μοιρῶν Ϛ καὶ ἑξηκοστῶν κβ· ὁ δὲ τοῦ Ἑρμοῦ περὶ μὲν τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου τὴν πάροδον ποιούμενος, ὡς ἐκ τῶν ἔγγιστα φάσεων ἄν τις ἐπιλογίσαιτο, νοτιώτερος καὶ βορειότερος γίνεται τοῦ διὰ μέσων μοίρᾳ ᾱ καὶ ἡμίσει καὶ τετάρτῳ, περὶ δὲ τὸ περίγειον μοίραις δ ἔγγιστα, ὡς ἐκ τούτου καὶ τὴν ἔγκλισιν τοῦ ἐπικύκλου συνίστασθαι μοιρῶν ϛ καὶ δ τὰς γὰρ τοσαύτας πάλιν εὑρίσκομεν ἐκ τῆς κατὰ τὸν ἐπίκυκλον ἀνωμαλίας περὶ τὰ τῶν μεγίστων ἐγκλίσεων ἀποστήματα, τουτέστιν ὅταν τὸ διευκρινημένον μῆκος τεταρτημόριον ἀπέχῃ τοῦ ἀπογείου, κατὰ μὲν τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου ὑποτεινούσας πρὸς τῇ ὄψει γωνίαν μοίρας ᾱ καὶ ἑξηκοστῶν μϚ, κατὰ δὲ τὸ περίγειον μοίρας δ καὶ ἑξηκοστῶν ε. ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν Κρόνου τε καὶ Διὸς καὶ Ἄρεως αὐτόθεν μὲν οὐκ ἄν τις ἐπιβάλλοι ταῖς πηλικότησιν τῶν ἐγκλίσεων μεμιγμένων ἀμφοτέρων ἀεὶ τῆς τε κατὰ τὸν ἔκκεντρον καὶ τῆς κατὰ τὸν ἐπίκυκλον ἀποτελουμένης, ἀπὸ δὲ τῶν κατά τε τὰ περίγεια καὶ τὰ ἀπόγεια τῶν ἐκκέντρων καὶ ἐπικύκλων τηρουμένων πάλιν κατὰ πλάτος παρόδων χωρίζομεν ἑκατέραν τῶν ἐγκλίσεων τρόπῳ τοιῷδε· ἔστω γὰρ ἐν τῷ πρὸς ὀρθὰς τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπιπέδῳ ἡ πρὸς αὐτὸ κοινὴ τομὴ τοῦ μὲν ἐπιπέδου τοῦ διὰ μέσων ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἐκκέντρου ἡ Ι Γ∠ τὸ δὲ Ε σημεῖον κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ, καὶ ἐν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων γεγράφθωσάν τε περὶ τὸ Ι ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου καὶ περὶ τὸ ∠περίγειον ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἴσοι κύκλοι ὅ τε ΖΗΘΚ καὶ ὁ ΛΜΝΞ ὡς οἱ διὰ τῶν πόλων τῶν ἐπικύκλων, ἐφʼ ὧν ἐγκεκλίσθω τὰ τῶν ἐπικύκλων ἐπίπεδα ἐπί τε τῆς ΗΓΚ καὶ τῆς Μ∠Ξ πρὸς ἴσας δηλονότι τὰς πρὸς τοῖς Γ καὶ ∠γωνίας, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐφʼ οὗ ἔστιν ἡ ὄψις, ἐπὶ τὰ ἀπόγεια καὶ περίγεια τῶν ἐπικύκλων εὐθεῖαι, ἐπὶ μὲν τὰ ἀπόγεια αἱ ΕΗ καὶ ΕΜ, ἐπὶ δὲ τὰ περίγεια αἰ ΕΚ καὶ ΕΞ, τῶν μὲν Κ καὶ Ξ σημείων τὰς ἀκρωνύκτους δηλονότι παρόδους περιεχόντων, τῶν δὲ Η καὶ Μ τὰς συνοδικάς. ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ τοῦ Ἄρεως ἐλάβομεν τὰς γινομένας κατὰ πλάτος παρόδους περί τε τὰς κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου συνισταμένας ἀκρωνύκτους, τουτέστιν τὰς περὶ τὸ Κ σημεῖον τοῦ ἐπικύκλου, καὶ περὶ τὰς κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐκκέντρου, τουτέστιν περὶ τὸ Ξ σημεῖον τοῦ ἐπικύκλου, διὰ τὸ πάνυ αἰσθητὴν αὐτῶν εἶναι τὴν διαφοράν. ἀφίσταται δὲ ἐν μὲν ταῖς περὶ τὸ ἀπόγειον ἀκρωνύκτοις πρὸς ἄρκτους τοῦ διὰ μέσων μοίρας δ γ΄, ἐν δὲ ταῖς κατὰ τὸ περίγειον πρὸς μεσημβρίαν μοίρας ζ ἔγγιστα, ὥστε καὶ τὴν μὲν ὑπὸ ΑΕΚ γωνίαν συνίστασθαι τοιούτων δ γʹ, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΕΞ γωνίαν τῶν αὐτῶν ζ. τούτων δʼ ὑποκειμένων εὑρίσκομεν τήν τε ὑπὸ τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως περιεχομένην γωνίαν, τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΑΕΓ, καὶ τὴν ὑπὸ τῆς τοῦ ἐπικύκλου, τουτέστιν τὴν ὑπὸ ΗΓΖ, τρόπῳ τοιῷδε· ἐπεὶ γάρ, ἐξ ὧν ἀπεδείξαμεν τοῦ Ἄρεως ἀνωμαλιῶν, εὐκατανόητόν ἐστιν, ὅτι τῶν ὑποτεινομένων πρὸς τῇ ὄψει γωνιῶν ὑπὸ τῶν ἴσων καὶ πρὸς τοῖς περιγείοις τοῦ ἐπικύκλου περιφερειῶν αἱ περὶ τὰς κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου παρόδους πρὸς τὰς κατὰ τὸ περίγειον λόγον ἔχουσιν, ὄν τὰ ε ἔγγιστα πρὸς τὰ θ, ἴσαι δὲ αἱ ΘΚ καὶ ΝΞ περιφέρειαι, λόγος ἂν εἴη καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΚ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΕΞ ὁ τῶν ε πρὸς τὰ θ. ὥστʼ, ἐπειδὴ δεδομέναι μέν εἰσιν αἱ ὑπὸ ΑΕΚ καὶ ὑπὸ ΒΕΞ γωνίαι, δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ὑπὸ ΓΕΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΕΞ λόγος, καὶ ἴση ἔστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΒΕ∠ ἐάν, ὅσον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ὅλων πηλικοτήτων τῆς ὑπεροχῆς τῶν λόγων, τὸ τοσοῦτον μέρος ἑκάστου τῶν λόγων λάβωμεν, ἕξομεν τὴν ἐπὶ τὸν οἰκεῖον λόγον πηλικότητα· δείκνυται γὰρ τοῦτο διὰ λημματίου τινὸς ἀριθμητικοῦ. ἐπεὶ οὖν αἱ μὲν πηλικότητές εἰσιν δ γʹ καὶ ζ καὶ ὑπεροχὴ τούτων β ??,ὁ δὲ λόγος ὁ τῶν ε πρὸς τὰ θ καὶ ὑπεροχὴ τούτων δ, τὰ δὲ β ??τῶν δ μέρος ἐστὶν δίμοιρον, τὸ τοσοῦτο λαβόντες μέρος τῶν ε καὶ τῶν θ τὴν μὲν ὑπὸ ΓΕΚ γωνίαν ἕξομεν γ γʹ μοιρῶν, τὴν δὲ ὑπὸ ∠ΕΞ τῶν αὐτῶν Ϛ, λοιπὴν δʼ ἀκολούθως ἑκατέραν τῶν ὑπὸ ΑΕΓ καὶ ΒΕ ∠τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως μοίρας ᾱ, ἐκ δὲ τούτων καὶ τὴν ΘΚ περιφέρειαν τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως μοιρῶν β δʹ διὰ τὸ τὰς τοσαύτας κατὰ τὸν τῆς ἀνωμαλίας κανόνα περιέχειν ἔγγιστα τὰς εὑρημένας πηλικότητας τῶν ὑπὸ ΓΕΚ καὶ ∠ΕΞ γωνιῶν. ἐπὶ δὲ Κρόνου καὶ Διός, ἐπειδὴ πρὸς αἴσθησιν ἀδιαφορούσας εὑρίσκομεν τὰς περὶ τὰ ἀπόγεια τῶν ἐκκέντρων τμήματα γινομένας παρόδους τῶν περὶ τὰ περίγεια καὶ κατὰ διάμετρον, καθʼ ἕτερον τρόπον ἐκ τῆς τῶν περὶ τὰ ἀπόγεια τῶν ἐπικύκλων πρὸς τὰς περὶ τὰ περίγεια συγκρίσεως ἐπελογισάμεθα τὸ προκείμενον. ἀφίσταται δʼ, ὡς ἐκ τῶν κατὰ μέρος τηρήσεων γέγονεν ἡμῖν εὐκατανόητον, ἐν μὲν ταῖς περὶ τὰς φάσεις καὶ κρύψεις παρόδοις τὸ πλεῖστον πρὸς ἄρκτους καὶ μεσημβρίαν ὁ μὲν τοῦ Κρόνου β μοίρας ἔγγιστα, ὁ δὲ τοῦ Διὸς ᾱ, ἐν δὲ ταῖς περὶ τὰς ἀκρωνύκτους ὁ μὲν τοῦ Κρόνου περὶ τὰς γ μοίρας, ὁ δὲ τοῦ Διὸς περὶ τὰς β. ἐπειδὴ οὖν καὶ ἐκ τῆς τούτων ἀνωμαλίας γίνεται φανερόν, ὅτι τῶν ὑποτεινομένων πρὸς τῇ ὄψει γωνιῶν ὑπὸ τῶν ἴσων περὶ τὰ ἀπόγεια καὶ περίγεια τοῦ ἐπικύκλου περιφερειῶν αἱ ὑπὸ τῶν περὶ τὰ ἀπόγεια συνιστάμεναι λόγον ἔχουσιν πρὸς τὰς ὑπὸ τῶν περὶ τὰ περίγεια γινομένων ἐπὶ μὲν τοῦ τοῦ Κρόνου, ὄν τὰ ιη πρὸς τὰ κγ, ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Διός, ὃν τὰ κθ πρὸς τὰ μγ, ἴσαι δὲ αἱ ΖΗ καὶ ΘΚ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαι, λόγος ἔσται καὶ τῆς ὑπὸ ΖΕΗ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΕΚ ἐπὶ μὲν τοῦ τοῦ Κρόνου ὁ τῶν ιη πρὸς τὰ κγ, ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Διὸς ὁ τῶν κθ πρὸς τὰ μγ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΚ γωνία ὑπεροχὴ οὖσα τῶν β κατὰ πλάτος παρόδων ἐπʼ ἀμφοτέρων τῶν ἀστέρων καταλείπεται μοίρας ᾱ. κατὰ τοὺς ἐκκειμένους ἄρα λόγους διαιρεθείσης τῆς ᾱ μοίρας ἕξομεν τὴν μὲν ὑπὸ ΖΕΗ γωνίαν ἐπὶ μὲν Κρόνου ἑξηκοστῶν κϛ, ἐπὶ δὲ Διὸς κδ, τὴν δὲ ὑπὸ ΖΕΚ ἐπὶ μὲν Κρόνου ἑξηκοστῶν λδ, ἐπὶ δὲ Διὸς λϚ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ἐγκλίσεως τοῦ ἐκκέντρου καταλειφθήσεται ἐπὶ μὲν Κρόνου μοιρῶν β κϚ, ἐπὶ δὲ Διὸς μοίρας ᾱ κδ, ἀνθʼ ὧν διὰ τὸ συμμετρότερον συνεχρησάμεθα ταῖς τε β U+2220ʹ καὶ τῇ ᾱ U+2220ʹ ὅλαις. αὐτόθεν δὲ καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια τῆς τῶν ἐπικύκλων ἐγκλίσεως συνάγεται ἐπὶ μὲν Κρόνου μοιρῶν δ U+2220΄, ἐπὶ δὲ Διὸς β U+2220ʹ αἱ γὰρ τοσαῦται καθʼ ἑκάτερον ἐν τοῖς τῆς ἀνωμαλίας κανόσι περιέχουσι πάλιν ἔγγιστα τὰς εὑρημένας πηλικότητας τῶν ὑπὸ ΖΕΗ καὶ ΖΕΚ γωνιῶν· ἅπερ προέκειτο εὑρεῖν.