ΙΓ΄.

δʹ. Πραγματεία κανονίων εἰς τὰς κατὰ μέρος τοῦ πλάτους παρόδους. Ἐκ μὲν οὖν τούτων ἡμῖν συνεστάθησαν αἱ καθόλου πηλικότητες τῶν μεγίστων ἐγκλίσεων τῶν τε ἐκκέντρων καὶ τῶν ἐπικύκλων· ἵνα δὲ καὶ τὰς τῶν κατὰ μέρος διαστάσεων πλατικὰς παρόδους ἑκάστοτε δυνώμεθα προχείρως μεθοδεύειν, ἐπραγματευσάμεθα κανόνια ε τῶν ε πλανωμένων στίχων μὲν ἕκαστον, ὅσων καὶ τὰ τῆς ἀνωμαλίας, σελιδίων δὲ ε· τούτων δὲ τὰ μὲν πρῶτα β περιέχει τοὺς ἀριθμούς, ὥσπερ καὶ ἐν ἐκείνοις, τὰ δὲ τρίτα τὰς ἐπιβαλλούσας κατὰ πλάτος ἀποστάσεις τοῦ διὰ μέσων τοῖς κατὰ μέρος τῶν ἐπικύκλων τμήμασιν ἐπʼ αὐτῶν τῶν μεγίστων ἐγκλίσεων, τὸ μὲν τῆς Ἀφροδίτης καὶ τὸ τοῦ Ἑρμοῦ τῶν κατὰ τοὺς συνδέσμους τῶν ἐκκέντρων, τὰ δὲ τῶν λοιπῶν γ ἀστέρων τῶν περὶ τὰ βόρεια πέρατα τῶν ἐκκέντρων· ἐπὶ τούτων δὲ καὶ τὰ δʹ σελίδια περιέξει τὰς περὶ τὰ νότια πέρατα τῶν ἐκκέντρων ὁμοίας ἐπιβολὰς συνεπιλελογισμένης ἐπὶ τῶν γ τούτων καὶ τῆς αὐτῶν τῶν ἐκκέντρων πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν πλείστης παραχωρήσεως. γέγονεν δʼ ἡμῖν ἡ πραγματεία τῶν τμημάτων τούτων ἐπὶ μὲν τοῦ τῆς Ἀφροδίτης καὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ διʼ ἑνὸς πάλιν θεωρήματος τρόπῳ τοιῷδε· ἔστω γὰρ ἐν τῷ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπιπέδῳ ἡ μὲν ΑΒΓ ἡ κοινὴ τομὴ πρὸς αὐτὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ζῳδιακοῦ, ἡ δὲ ΔΒΕ ἡ κοινὴ τομὴ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐπικύκλου, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Α, τοῦ δὲ ἐπικύκλου τὸ Β, ἡ δὲ ΑΒ τὸ περὶ τὰς μεγίστας ἐγκλίσεις ἀπόστημα τῶν ἐπικύκλων, καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β τοῦ ∠ΖΕΗ ἐπικύκλου ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒΗ διάμετρος ὀρθὴ πρὸς τὴν ∠Ε, ὑποκείσθω δὲ καὶ τὸ τοῦ ἐπικύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ ὑποκείμενον ὀρθόν, ὥστε τῶν τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγομένων ἐν αὐτῷ τὰς μὲν ἄλλας πάσας παραλλήλους εἶναι τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ, τὴν δὲ μόνην ἐν αὐτῷ, καὶ προκείσθω δοθέντων τοῦ τε λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τῆς πηλικότητος τῆς ἐγκλίσεως, τουτἐστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΕ γωνίας, εὑρεῖν τὰς κατὰ πλάτος τῶν ἀστέρων παρόδους, ὅταν ὑποδείγματοςἔνεκεν ἀπέχωσι τοῦ Ε περιγείου τοῦ ἐπικύκλου με μοίρας, οἵων ἐστὶν ὁ ἐπίκυκλος τξ, ἐπειδήπερ καὶ τὰς γινομένας διαφορὰς ταῖς κατὰ μῆκος παρόδοις διὰ τὰς τοιαύτας ἐγκλίσεις προαιρούμεθα συναποδεικνύειν, αὗται δὲ περὶ τὰς μεταξύ που τοῦ τε Ε περιγείου καὶ τῶν Ζ, Η παρόδους τὸ πλεῖστον ἂν ὀφείλοιεν διενεγκεῖν διὰ τὸ τὰς ἐπὶ τῶν εἰρημένων σημείων τὰς αὐτὰς γίνεσθαι ταῖς καὶ χωρὶς τῆς ἐγκλίσεως ἀποτελουμέναις. ἀπειλήφθω δὴ περιφέρεια τῶν εἰρημένων με μοιρῶν ἡ ΕΘ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΒΕ ἡ ΘΚ, ἐπὶ δὲ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον αἱ ΚΛ καὶ ΘΜ, ἐπεζεύχθωσάν τε αἱ ΘΒ καὶ ΛΜ καὶ ΑΜ καὶ ΑΘ. ὅτι μὲν οὖν τὸ ΛΚΘ Μ2 τετράπλευρον παραλληλόγραμμόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον διὰ τὸ τὴν ΚΘ παράλληλον εἶναι τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ, καὶ ὅτι τὴν μὲν κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσιν ἡ ὑπὸ ΛΑΜ γωνία περιέχει, τὴν δὲ κατὰ πλάτος πάροδον ἡ ὑπὸ ΘΑΜ, τῶν ὑπὸ ΑΛΜ καὶ ὑπὸ ΑΜΘ γωνιῶν ὀρθῶν καὶ αὐτῶν συνισταμένων διὰ τὸ καὶ τὴν ΑΜ ἐν τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ πίπτειν, αὐτόθεν ἂν εἴη φανερόν· πηλίκαι δὲ αἱ ἐπιζητούμεναι πάροδοι συνάγονται καθʼ ἑκάτερον τῶν προειρημένων ἀστέρων, ἤδη δεικτέον, καὶ πρότερον ἐπὶ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ΕΘ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν με, οἵων ὁ ἐπίκυκλος τξ, εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ΕΒΘ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα τοῦ ἐπικύκλου, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων με, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ἐπὶ τῆς ΒΚ καὶ τῆς ΚΘ περιφερειῶν τοιούτων ἐστὶν ??,οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΘΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἐκατέρα τοιούτων ἐστὶν πδ νβ, οἵων ἐστὶν ἡ ΒΘ ὑποτείνουσα ρκ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου μγ ῑ, ἡ δὲ ΑΒ τοῦ μέσου ἀποστήματος ξ, διὰ τὸ περὶ τοῦτο μάλιστα τὴν μεγίστην ἔγκλισιν γίνεσθαι τοῦ ἐπικύκλου, τοιούτων καὶ ἐκατέρα τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ εὐθειῶν ἔσται λ λβ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῆς ἐγκλίσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ὑπόκειται β λ, οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΛΚ περιφέρεια τοιούτων ε, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ Β ΛΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Β Λ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροε. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Κ Λ τοιούτων ἔσται ε ιδ, οἵων ἡ ΒΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ Β Λ τῶν αὐτῶν ριθ νγ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΚ ὑποτείνουσα λ λβ, ἡ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΛ ἔσται ᾱ κ, ἡ δὲ Β Λ τῶν αὐτῶν λ λ, ἡ δὲ ΑΛ τῶν λοιπῶν κθ λ. τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ΛΜ ἴση οὖσα τῇ ΚΘ εὐθείᾳ λ λβ· ὥστε καὶ τὴν ΑΜ ὑποτείνουσαν συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν μω κζ. καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΜ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΜ ἔσται πϚ ιθ, ἡ δʼ ὑπὸ ΛΑΜ τῆς τότε κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢β o, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μϛ Ο. ὁμοίως δʼ, ἐπεὶ καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΜ εὐθεῖα μβ κζ, τοιούτων ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ ἴση οὖσα τῇ Κ Λ εὐθείᾳ ᾱ κ, τὰ δὲ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,ἔσται καὶ ἡ ΑΘ μήκει τῶν αὐτῶν μῆ κθ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΜ ἔσται γ μϚ, ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΜ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων γ λϚ, οἵων δʼ αἰ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ᾱ μη, ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ τρίτῳ σελιδίῳ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης κανόνος κατὰ τοῦ περιέχοντος στίχου τὸν τῶν ρλε μοιρῶν ἀριθμόν. ἕνεκεν δὲ τοῦ συγκρῖναι τὴν γινομένην διαφορὰν τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως ἐκκείσθω ἡ ὁμοία καταγραφψὴ ἀνέγκλιτον ἔχουσα τὸν ἐπίκυκλον. καὶ ἐπεὶ ἐδείξαμεν ἑκατέραν τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ εὐθειῶν τοιούτων λ λβ, οἵων ἐστὶν ἡ Α Β εὐθεῖα ξ, ὥστε καὶ τὴν ΑΚ γίνεσθαι τῶν λοιπῶν κθ κη, τὸ δʼ ἀπὸ ταύτης καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ συτεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,ἔσται καὶ ἡ ΑΘ μήκει τῶν αὐτῶν μβ κϚ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΘ ἔσται πϚ κα, ἡ δʼ ὑπὸ Θ ΑΚ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢β γ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μϚ β ἔγγιστα. ἐδέδεικτο δὲ ἐπὶ τῆς ἐγκλίσεως τῶν αὐτῶν μϚ· ἐνέλειπεν ἄρα ἡ κατὰ τὸ μῆκος προσθαφαίρεσις διὰ τὴν ἔγκλισιν τοῦ ἐπικύκλου μιᾶς μοίρας ἑξηκοστοῖς β· ἅπερ ἔδει εὑρεῖν. πάλιν, ἵνα καὶ τὰς ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ παρόδους δείξωμεν, ἐκκείσθω ἡ ὁμοία τῇ πρὸ ταύτης καταγραφῇ τῆς ΕΘ περιφερείας τῶν αὐτῶν ὑποκειμένης με μοιρῶν, ὥστε καὶ τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ ἑκατέραν τοιούτων πάλιν συνάγεσθαι πδ νβ, οἵων ἐστὶν ἡ ΒΘ ὑποτείνουσα ρκ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ΒΘ ἐκ τοῦ κέντροῦ τοῦ ἐπικύκλου κβ λ, ἡ δὲ ΑΒ τοῦ κατὰ τὰς μεγίστας ἐγκλίσεις ἀποστήματος νϚ μ· ταῦτα γὰρ ἡμῖν πάντα προαποδέδεικται· τοιούτων καὶ ἐκατέρα τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ ἔσται ιε νε. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ὑπόκειται Ϛ ιε, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιβ λ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΛΚ περιφέρεια τοιούτων ιβ λ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΚ Λ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς Β Λ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρξζ λ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Κ Λ τοιούτων ἐστὶν ιγ δ, οἵων ἡ ΒΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ Β Λ τῶν αὐτῶν ριθ ιζ ὥστε καί, οἵων ἡ μὲν Β Κ ἐδείχθη ιε νε, ἡ δὲ ΑΒ ὑπόκειται νϚ μ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν Κ Λ ἔσται ᾱ μδ, ἡ δὲ Β Λ ὁμοίως ιε μθ, λοιπὴ δὲ ἡ ΑΛ τῶν αὐτῶν μ να. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ ἴση οὖσα τῇ ΚΘ τῶν αὐτῶν ιε νε· καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α Λ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΜ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΜ ,ἕξομεν καὶ αὐτὴν μήκει τοιούτων μγ ν, οἵων ἐστὶν ἡ ΛΜ εὐθεῖα ιε νε· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΜ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΜ ἔσται μγ λδ, ἡ δʼ ὑπὸ ΛΑΜ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μβ λδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων κα ιζ. ὁμοίως δʼ, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΜ εὐθεῖα μγ ν, τοιούτων καὶ ἡ Θ Μ ἴση οὖσα τῇ Κ Λ γίνεται ᾱ μδ, τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν μγ νβ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΜ ἔσται δ μδ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΜ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ λβ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β ιϚ, ἃ καὶ παραθήσομεν πάλιν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ κανόνος κατὰ τοῦ αὐτοῦ στίχου, τουτέστιν τοῦ περιέχοντος τὸν τῶν ρλε μοιρῶν ἀριθμόν. πάλιν καὶ τῆς συγκρίσεως τῆς προσθαφαιρέσεως ἕνεκεν ἐκκείσθω καὶ ἡ χωρὶς τῆς ἐγκλίσεως καταγραφή. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη, ὅτι, οἵων ἡ ΑΒ εὐθεῖα νϚ μ, τοιούτων ἐστὶν ἑκατέρα μὲν τῶν ΘΚ καὶ ΚΒ εὐθειῶν ιε νε, λοιπὴ δὲ ἡ ΑΚ τῶν αὐτῶν δηλονότι μ με, τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ΑΚ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,μήκει ἄρα καὶ αὐτὴν ἕξομεν τοιούτων μγ με, οἵων ἦν καὶ ἡ ΘΚ εὐθεῖα ιε νε· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ εὐθεῖα ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΚ ἔστεα μγ λθ, ἡ δʼ ὑπὸ Κ ΑΘ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μβ μ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων κα κ. ἐδέ. δεικτο δʼ ἐπὶ τῆς ἐγκλίσεως τῶν αὐτῶν κα ιζ· ἐνέλειπεν ἄρα καὶ ἐνταῦθα ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις διὰ τὴν ἔγκλισιν τοῦ ἐπικύκλου ᾱ μοίρας ἑξηκοστοῖς γ ἅπερ ἔδει εὑρεῖν. τῶν μὲν οὖν δύο τούτων ἀστέρων τὰς ἐν ταῖς μεγίσταις ἐγκλίσεσιν κατὰ πλάτος παρόδους τὸν ἐκκείμενον τρόπον ἐπραγματευσάμεθα διὰ τὸ συνίστασθαι αὐτάς, ὅταν καὶ ὁ ἔκκεντρος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τυγχάνῃ τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων, τὰς δὲ τῶν λοιπῶν γ ἀστέρων διʼ ἑτέρου τῇ καταγραφῇ θεωρήματος, ἐπειδὴ κατὰ τὰς μεγίστας τῶν ἐκκέντρων ἐγκλίσεις καὶ αἱ μέγισται τῶν ἐπικύκλων συνίστανται, καὶ πρὸ ὁδοῦ ἂν εἴη συνεπιλελογισμένας ἔχειν τὰς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἐγκλίσεων συναγομένας πλατικὰς παρόδους. ἔστω γὰρ πάλιν ἐν τῷ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἐπιπέδῳ τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡ κοινὴ πρὸς αὐτὸ τομὴ τοῦ μὲν ἐπιπέδου τοῦ διὰ μέσων ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἐκκέντρου ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἐπικύκλου ἡ ΔΓΕ, ὑποκείσθω τε τοῦ μὲν ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Α, τοῦ δὲ ἐπικύκλου τὸ Γ, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ Γ ὁ ∠ΖΕΗ ἐπίκυκλος οὕτως πάλιν, ὥστε τῶν τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγομένων τὴν μὲν ΖΓΗ διάμετρον ἐν μὲν τῷ τοῦ ἐκκέντρου εἶναι ἐπιπέδῳ, τῷ δὲ τοῦ διὰ μέσων παράλληλον, τὰς δὲ λοιπὰς παραλλήλους ἀμφοτέροις τοῖς εἰρημένοις ἐπιπέδοις, ἀπειλήφθω τε ὁμοίως ἡ ΕΘ περιφέρεια τῶν αὐτῶν ὑποκειμένη με μοιρῶν, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ τοῦ κατὰ τὸν ἀστέρα σημείου καθέτου ἀχθείσης τῆς ΘΚ καὶ ἔτι ἀπὸ τῶν Θ καὶ Κ σημείων ἐπὶ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον τῶν ΚΒ καὶ ΘΛ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β Λ καὶ ΑΛ, προκείσθω τε εὑρεῖν τήν τε κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσιν περιεχομένην ὑπὸ τῆς ὑπὸ Β Α Λ γωνίας καὶ τὴν κατὰ πλάτος πάροδον περιεχομένην ὑπὸ τῆς ὑπὸ Λ ΑΘ γωνίας. ἤχθω δὴ καὶ ἐπὶ τὴν ΑΙ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘ καὶ ΑΚ καὶ ΑΘ, ὑποκείσθω τε πάλιν διὰ τὰ προδεδειγμένα τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ ἐκατέρα τοιούτων πδ νβ, οἵων ἐστὶν ἡ Γ Θ ὑποτείνουσα ρκ. ἐπὶ δὴ τοῦ τοῦ Κρόνου πρῶτον τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τοιούτων ἀποδεδειγμένης ϛ λ ,οἵων ἐστὶ τὸ μέσον ἀπόστημα ξ, ἔσται καὶ ἐκατέρα τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ εὐθειῶν τοιούτων δ λϚ, οἵων ἐστὶν ἡ ΓΘ ὑποτείνουσα Ϛ λ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως ὑπόκειται, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ λ ,οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων θ, εἴη ἂν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΜ περιφέρεια τοιούτων θ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΓΚΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροα· καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν Κ Μ ἔσται τοιούτων θ κε, οἵων ἐστὶν ἡ ΓΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ Γ Μ τῶν αὐτῶν ριθ λη. καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΓΚ εὐθεῖα δ λς, τοιούτων καὶ ἡ μὲν Κ Μ ἔσται Ο κβ, ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως δ λε. ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς κατὰ τὸ ἀπογειότερον ἡμικύκλιον μεγίστης ἐγκλίσεως ἡ ΑΓ τοῦ περὶ τὰς ἀρχὰς τῶν Χηλῶν ἀποστήματος ἐκ τῶν προεφωδευμένων ἐν ταῖς ἀνωμαλίαις θεωρημάτων συνάγεται τῶν αὐτῶν ξβ ῖ, ὥστε καὶ λοιπὴν τὴν ΑΜ τοιούτων καταλείπεσθαι νζ λε, οἵων ἐστὶν ἡ ΜΚ εὐθεῖα Ο κβ, διὰ τοῦτο δὲ καὶ τὴν ΑΚ ὑποτείνουσαν τῶν αὐτῶν νζ λε . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο μϚ, ἡ δʼ ὑπὸ Κ ΛΜ γωνία τοιούτων Ο μδ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ· ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ Β ΑΓ τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως, οἵων μέν εἰσιν α δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β λ, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων ἐστὶν ε μδ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ἔ μδ, οἵων ὁ περὶ τὸ Β ΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ ιϚ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ τοιούτων ἐστὶν Ο, οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ να· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα νζ λε, τοιούτων ἡ μὲν ΒΚ ἔσται β νγ, ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως νζ λα, τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ Β Λ ἴση οὖσα τῇ ΚΘ γίνεται δ λϚ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΛ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α Λ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν νζ μβ. ὁμοίως δʼ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΘ ἴση οὖσα τῇ ΒΚ γίνεται τῶν αὐτῶν β νγ, τὸ δʼ ἀπὸ τῆς Α Λ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,μήκει καὶ ταύτην ἕξοψμεν τῶν αὐτῶν νζ μϚ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΛ ἔσται ε νθ, ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑ Λ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε μδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β νβ, ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Κρόνου κανονίου κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν. ἐπὶ δὲ τῆς κατὰ τὸ περιγειότερον ἡμικύκλιον μεγίστης ἐγκλίσεως, ἐπειδήπερ ἡ ΑΓ τοῦ κατὰ τὰς ἀρχὰς τοῦ Κριοῦ ἀποστήματος τοιούτων συνάγεται νζ μ, οἵων ἡ μὲν ΚΜ ἐδείχθη Ο κβ, ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως δ λε, καὶ διὰ τοῦτο λοιπὴ μὲν ἡ ΑΜ γίνεται νγ ε, τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα διὰ τὸ ἀδιαφόρῳ μείζων εἶναι τῆς ΑΜ εὐθείας νγ ε, καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο ν, ἡ δὲ ὑπὸ Κ ΑΜ γωνία τοιούτων Ο μη, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ. τῶν δʼ αὐτῶν ὑπόκειται καὶ ἡ ὑπὸ Β ΑΓ γωνία ε· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων ἐστὶ ε μη, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶ ε μη, οἵων ὁ περὶ τὸ Β ΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ ιβ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ γίνεται τοιούτων ϛ δ, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ να· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα νγ ε, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΚ ἔσται β μα, ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως νγ ᾱ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς θ Λ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α Λ ,τῶν δʼ αὐτῶν ἐδείχθη καὶ ἡ Β Λ δ λϚ, ἕξομεν καὶ τὴν ΑΛ μήκει τῶν αὐτῶν νγ ιγ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ Α Λ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν Β Λ ἔσται ῑ κγ, ἡ δʼ ὑπὸ Β ΑΛ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων θ νϚ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ νη. πάλιν, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ Α Λ εὐθεῖα νγ ιγ, τοιούτων καὶ ἡ ΘΛ ἴση οὖσα τῇ ΚΒ γίνεται β μα, τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν νγ ιζ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΛ ἔσται Ϛ γ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε μϚ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β νγ, ἃ καὶ αὐτὰ παραθήσομεν ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ τοῦ κανονίου κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν. ἵνα δὴ καὶ τὴν σύγκρισιν τῶν κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεων ἐπὶ τῆς περιγειοτέρας ἐγκλίσεως ποιησώμεθα, καταγεγράφθω πάλιν τὸ μηδεμίαν ἔγκλισιν ἔχον σχῆμα. καὶ ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ τότε ἀποστήματος νζ μ, τοιούτων ἐκατέρα μὲν τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ ὑπόκειται δ λϚ, λοιπὴ δὲ ἡ ΑΚ τῶν αὐτῶν νγ δ, τὸ δʼ ἀπʼ αὐτῆς μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,ἕξομεν καὶ τὴν ΑΘ μήκει νγ ιϛ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΘ ἔσται ῑ κβ, ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΚ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων θ νδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ νζ. ἐδέδεικτο δʼ ἐπὶ τῶν ἐγκλίσεων τῶν αὐτῶν δ νη· ἐπλεόνασεν ἄρα παρʼ ἀμφοτέρας τὰς ἐγκλίσεις ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῷ α· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν. πάλιν ἐκκείσθω πρῶτον ἡ ἐπὶ τῶν ἐγκλίσεων καταγραφὴ περιέχουσα τοὺς ἐπὶ τοῦ τοῦ Διὸς ἀποδεδειγμένους λόγους, ὥστε, οἵων ἐστὶν ἡ ΓΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ια λ, τοιούτων ἑκατέραν τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ συνάγεσθαι η η. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ὑπόκειται β λ ,οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΜ περιφέρεια τοιούτων ε, οἵων ὁ περὶ τὸ ΓΚΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροε. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΚΜ τοιούτων ἐστὶν ε ιδ, οἵων ἡ ΓΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΓΜ τῶν αὐτῶν ριθ νγ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ εὐθεῖα η η, ἡ δὲ ΑΓ τοῦ περὶ τὰς ἀρχὰς τῶν Χηλῶν ἀποστήματος ξβ λ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο κα, ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως η η, λοιπὴ δὲ ἡ ΜΑ εὐθεῖα νδ κβ, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα, ἐπεὶ ἀδιαφόρῳ μείζων ἐστὶν τῆς ΜΑ, τῶν αὐτῶν νδ κβ. καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται Ο μϚ, ἡ δʼ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων Ο μδ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων α λ ,οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων γ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων ἐστὶ γ μδ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶ γ μδ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρος ιϚ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΚΒ τοιούτων ἐστὶν γ νδ, οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ νϚ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα νδ κβ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΒ ἔσται α μϚ, ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως νδ κ. τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν διὰ τὰ προαποδεδειγμένα καὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα η η· καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ ,ἕξομεν καὶ αὐτὴν μήκει τῶν αὐτῶν νδ νς. ὁμοίως δʼ, ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Θ τῶν αὐτῶν ἐστι α μς, τὰ δὲ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,καὶ ταύτην ἕξομεν τῶν αὐτῶν νδ νη· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΘ ἔσται γ νβ, ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων γ μβ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων α να, ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Διὸς κανονίου κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν. ὡσαύτως δʼ, ἐπειδὴ πάλιν ἡ ΑΓ τοῦ κατὰ τὰς ἀρχὰς τοῦ Κριοῦ ἀποστήματος τοιούτων συνάγεται νζ λ, οἵων ἐδείξαμεν τὴν μὲν ΚΜ εὐθεῖαν ο κα, τὴν δὲ ΓΜ ὁμοίως η η, ὡς καὶ λοιπὴν τὴν ΑΜ, τουτέστιν τὴν ΑΚ ἀδιαφόρῳ μείζονα οὖσαν, τῶν αὐτῶν καταλείπεσθαι μθ κβ, διὰ τοῦτο δὲ καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ γίνεται ο να, ἡ δʼ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων ο μθ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ, συναχθήσεται καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τῶν αὐτῶν γ μθ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν γ μθ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΚΒ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρος ια. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ τοιούτων ἐστὶν γ νθ. οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ νς· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα μθ κβ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΒ ἔσται α λθ, ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως μθ κ. διὰ τοῦτο δʼ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΛ τῶν αὐτῶν ἐστιν η η, τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει ο ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΛ ἔσται ιθ λα, ἡ δʼ ὑπὸ ΒΑΛ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιη μδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων θ κβ. πάλιν, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ εὐθεῖα ν ο, τοιούτων καὶ ἡ ΘΛ γίνεται α λθ, τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ . καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν ν καὶ ἑξηκοστῶν β· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΘ ἔσται γ νζ, ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ τὸ πλάτος ἀποστάσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων γ μς, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων α νγ, καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ τοῦ κανονίου κατὰ τῶν αὐτῶν ρλε μοιρῶν. καὶ τῆς συγκρίσεως δὲ τῶν κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεων ἕνεκεν ἐκκείσθω ἡ χωρὶς τῶν ἐγκλίσεω καταγραφή. καὶ ἐπεὶ κατὰ τὸ ἐκκείμενον ἀπόστημα, οἵων ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΚ καὶ ΓΚ εὐθειῶν η η, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἐστιν ὅλη νζ λ, λοιπὴ δὲ ἡ ΑΚ τῶν αὐτῶν μθ κβ, τὸ δʼ ἀπʼ αὐτῆς μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν ν καὶ ἑξηκοστῶν β· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΚ ἔσται, ιθ λ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΚ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ. τοιούτων ιη μβ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων θ κα. ἐδέδεικτο δὲ ἐπὶ τῶν ἐγκλίσεων τῶν αὐτῶν θ κβ ἐπλεόνασεν ἄρα πάλιν παῤ ἀμφοτέρας τὰς ἐγκλίσεις ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑνὶ μόνῳ ἑξηκοστῷ· ἅπερ προέκειτο εὑρεῖν. ἑξῆς δὲ καὶ τῶν τοῦ Ἄρεως λόγων ἕνεκεν ἐκκείσθω πρῶτον ἡ τῶν ἐγκλίσεων καταγραφή, καὶ συναγέσθω πάλιν ἑκατέρα τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ τοιούτων κζ νς, οἵων ἐστὶν ἡ ΓΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου λθ λ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς τοῦ ἐπικύκλου ἐγκλίσεως ὑπόκειται ,οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β ιε, οἵων δὲ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ λ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΜ περιφέρεια τοιούτων δ λ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΓΜΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΓΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροε λ. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΚΜ τοιούτων ἐστὶν δ μγ, οἵων ἐστὶν ἡ ΓΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΓΜ τῶν αὐτῶν ριθ νδ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ΓΚ εὐθεῖα κζ νς, ἡ δὲ ΑΓ τοῦ μεγίστου ἀποστήματος ξς, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται α ς, ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως κζ νδ, ἡ δὲ ΑΜ τῶν λοιπῶν λη ς, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα τῶν αὐτῶν λη ζ . καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται γ κη, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων γ ιθ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς τοῦ ἐκκέντρου ἐγκλίσεως, οἵων μέν εἴσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων α, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τοιούτων συνάγεται ε ιθ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΚΒ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ε ιθ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΑΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροδ μα. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ τοιούτων ἐστὶν ε λδ, οἵων ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ νβ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα λη ζ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΒ ἔσται α μς, ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως λη ε. τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα κζ νς· καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΛ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει μζ ιδ. ὁμοίως δʼ, ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΘΛ τῶν αὐτῶν α μς, τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ΑΛ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΘ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν μζ ις· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΘΛ ἔσται δ κθ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος ἀποστάσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ ιη, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β θ, ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ γ΄ σελιδίῳ τοῦ τοῦ Ἄρεως κανονίο κατὰ τῶν ρλε μοιρῶν. ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα ἐγκλίσεων, ἐπειδὴ τοιούτων ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα νδ, οἵων ἡ μὲν ΚΜ ἐδείχθη a ϛ, ἡ δὲ ΓΜ ὁμοίως κζ νδ, ὡς καὶ τὴν μὲν ΑΜ καταλείπεσθαι τῶν λοιπῶν κς ς, τὴν δὲ ΑΚ ὑποτείνουσαν συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν κς ζ ,καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΚΜ ἔσται γ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΑΜ γωνία τοιούτων δ μθ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ, διὰ τοῦτο δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῶν αὐτῶν ϛ μθ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΚ περιφέρεια τοιούτων ἐστὶν ς μθ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΒΚ ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ἐπὶ τῆς ΑΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ρογ ια. καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΒΚ ἔσται τοιούτων ζ η, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΑΒ τῶν αὐτῶν ριθ μζ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΚ εὐθεῖα κς ζ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΚ ἔσται α λγ, ἡ δὲ ΑΒ ὁμοίως κς δ. τῶν δʼ αὐτῶν ἐστιν πάλιν καὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα κζ νς· καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΛ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει λη ιβ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΒΛ ἔσται πζ με, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΛ γωνία τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢δ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μζ. ὁμοίως δʼ, ἐπεί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΛ εὐθεῖα λη ιβ, τοιούτων καὶ ἡ ΛΘ γίνεται α λγ, τὰ δʼ ἀπʼ αὐτῶν συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετράγωνον ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν λη ιδ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΛΘ ἔσται δ νβ, ἡ δʼ ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ πλάτος ἀποστάσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ μ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β κ, ἃ καὶ παραθήσομεν ἐν τῷ δ΄ σελιδίῳ τοῦ κανόνος κατὰ τῶν αὐτῶν ρλε μοιρῶν. καὶ τῆς συγκρίσεως οὖν πάλιν ἕνεκεν τῶν κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεων, ἐὰν ἐκθώμεθα τὴν χωρὶς τῶν ἐγκλίσεων καταγραφήν, γίνεται κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα, ὅπου μάλιστα τὴν διαφορὰν αἰσθητὴν ἀνάγκη συμβαίνειν, λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΓΚ καὶ ΚΘ ὁ τῶν νδ πρὸς τὰ κζ νς, ὡς διὰ τοῦτο τὴν μὲν ΑΚ καταλείπεσθαι τῶν λοιπῶν κς δ, τὴν δὲ ΑΘ ὑποτείνουσαν συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν ληιβ ,διὰ τοῦτο δὲ καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΘ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ τὴν μὲν ΘΚ εὐθεῖαν γίνεσθαι πάλιν πζ με, τὴν δʼ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίαν τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢δ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μζ. τοσούτων δὲ ἐδέδεικτο καὶ ἀπὸ τῶν κατὰ τὰς ἐγκλίσεις ἐπιλογισμῶν· οὐδενὶ ἄρα ἐπὶ τοῦ Ἄρεως διήνεγκεν παρὰ τὰς ἐγκλίσεις τῶν κύκλων ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις· ἅπερ ἔδει εὑρεῖν. τὰ δὲ δ΄ σελίδια τῶν δύο κανονίων τοῦ τε τῆς Ἀφροδίτης καὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ περιέξει τὰς ὑπὸ τῶν μεγίστων λοξώσεων τῶν ἐπικύκλων αὐτῶν, αἵτινες περὶ τὰ ἀπόγεια καὶ περίγεια τῶν ἐκκέντρων συνίστανται, περιεχομένας πλατικὰς παρόδους, πεπραγματευμένας ἡμῖν μέντοι καθʼ αὑτὰς χωρὶς τῆς παρὰ τὰς τῶν ἐκκέντρων ἐγκλίσεις γινομένης διαφορᾶς, ἐπειδήπερ καὶ πλειόνων ἂν ἐδέησε κανονίων ψηφοφορίας τε κατασκελεστέρας ἀνίσων καὶ μὴ πάντως ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ διὰ μέσων συνίστασθαι μελλουσῶν τῶν τε ἑσπερίων καὶ τῶν ἑῴων παρόδων, καὶ ἄλλως τῆς ἐγκλίσεως τῶν ἐκκέντρων μὴ μενούσης αἰ τῶν παρὰ τὰς μεγίστας ἐγκλίσεις μειώσεων ὑπεροχαὶ διαφωνεῖν ἔμελλον πρὸς τὰς τῶν παρὰ τὰς μεγίστας λοξώσεις μειώσεων· χωρισθείσης μέντοι τῆς διαφορᾶς ἕκαστα ἡμῖν προχειρότερον μεθοδευθήσεται, ὡς ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπενεχθησομένων ἔσται δῆλον. ἔστω τοίνυν ἡ ΑΒ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ τοῦ ἐπικύκλου, καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ὑποκείσθω τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ, τὸ δὲ Β τὸ κέντρον. τοῦ ἐπικύκλου, γεγράφθω τε περὶ αὐτὸ ὁ Γ∠ΕΖΗ ἐπίκυκλος λοξὸς πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον, τουτέστιν ὥστε τὰς ἀγομένας ἐνʼ αὐτοῖς εὐθείας ὀρθὰς πρὸς τὴν ΓΗ κοινὴν τομὴν ἴσας ποιεῖν τὰς γωνίας ἁπάσας τὰς πρὸς τοῖς αὐτῆς τῆς ΓΗ σημείοις συνισταμένας, διήχθωσάν τε ἡ μὲν ΑΕ ἐφαπτομένη τοῦ ἐπικύκλου, ἡ δὲ ΑΖ∠ τέμνουσα αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠; ,Ε, Ζ σημείων κάθετοι ἐπὶ μὲν τὴν ΓΗ αἱ ∠Θ καὶ ΕΚ καὶ ΖΛ, ἐπὶ δὲ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον αἱ ∠Μ καὶ ΕΝ καὶ ΖΣ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΘΜ καὶ ΚΝ καὶ ΛΞ καὶ ἔτι αἱ ΑΝ καὶ ΑΞΜ ἡ γὰρ ΑΞΜ εὐθεῖά ἐστιν, ἐπειδήπερ ἐν δυσὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν τὰ γ σημεῖα τῷ τε τοῦ διὰ μέσων καὶ τῳ διὰ τῆς ΑΖ∠ ὀρθῷ πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων. ὅτι μὲν οὖν ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης λοξώσεως τὰς μὲν κατὰ μῆκος τῶν ἀστέρων προσθαφαιρέσεις περιέχουσιν ἥ τε ὑπὸ ΘΑΜ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΝ, τὰς δὲ κατὰ πλάτος ἥ τε ὑπὸ ∠ΑΜ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΝ, φανερόν. δεικτέον δὲ πρῶτον, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΝ κατὰ πλάτος πάροδος ἡ κατὰ τὴν ἐπαφὴν συνισταμένη πασῶν ἐστι μείζων, καθάπερ καὶ ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΚ γωνία μείζων ἐστὶν πασῶν, ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΕΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἐκατέρα τῶν Θ∠ καὶ ΛΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ∠Α καὶ ΖΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΕΝ, οὕτως ἥ τε Θ∠ πρὸς τὴν ∠Μ καὶ ἡ Λ πρὸς τὴν ΖΞ · ἰσογώνια γὰρ πάντα ἐστίν, ὡς ἔφαμεν ,τὰ οὕτω συνιστάμενα τρίγωνα καὶ ὀρθαὶ αἰ πρὸς τοῖς Μ, Ν, γωνίαι· καὶ ἡ ΝΕ ἄρα πρὸς τὴν ΕΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἑκατέρα τῶν Μ∠ καὶ Ζ πρὸς ἑκατέραν τῶν ∠Α καὶ ΖΑ. καί εἴσιν πάλιν ὀρθαὶ α ὑπὸ ∠ΜΑ καὶ ὑπὸ ΕΝΑ καὶ ὑπὸ ΖΞΑ γωνίαι· μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΝ γωνία τῆς ὑπὸ ∠ΑΜ γωνίας καὶ πασῶν δηλονότι τῶν τὸν αὐτὸν τρόπον συνισταμένων. φανερὸν δʼ αὐτόθεν, ὅτι καὶ τῶν γινομένων ἐν ταῖς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεσιν ἐκ τῆς λοξώσεως διαφορῶν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς ταῖς κατὰ τὸ Ε μεγίσταις παρόδοις ἀποτελούμενη, ἐπειδήπερ περιέχουσι μὲν αὐτὰς αἱ ὑποτείνουσαι γωνίαι τὰς ὑπεροχὰς τῶν Θ∠ καὶ ΚΕ καὶ ΛΖ πρὸς τὰς ΘΜ καὶ ΚΝ καὶ ΛΞ. τοῦ δʼ αὐτοῦ λόγου καθʼ ἑκάστην αὐτῶν μένοντος καὶ πρὸς τὰς ὑπεροχὰς ἐξακολουθεῖ τὸ καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΕΚ καὶ ΚΝ μείζονα λόγον ἔχειν πρὸς τὴν ΕΑ ἤπερ τὰς τῶν λοιπῶν πρὸς τὰς ὁμοίας τῇ Α∠; . δῆλον δʼ αὐτόθεν, ὅτι καί, ὃν ἂν ἔχῃ λόγον ἡ κατὰ μῆκος μεγίστη προσθαφαίρεσις πρὸς τὴν κατὰ πλάτος μεγίστην πάροδον, τοῦτον ἔχουσι τὸν λόγον καὶ ἐπὶ πάντων τῶν τοῦ ἐπικύκλου τμημάτων αἱ κατὰ μῆκος ἐφʼ ἑκάστου προσθαφαιρέσεις πρὸς τὰς κατὰ πλάτος παρόδους, ἐπειδήπερ, ὡς ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΕΝ, οὕτως καὶ πᾶσαι αἱ ὅμοιαι ταῖς ΛΖ καὶ Θ∠ πρὸς τὰς ὁμοίας ταῖς καὶ ∠Μ ἅπερ προέκειτο δεῖξαι. τούτων δὴ προεφωδευμένων ἴδωμεν πρῶτον, πηλίκη γωνία καθʼ ἑκάτερον τῶν ἀστέρων ὑπὸ τῆς λοξώσεως τῶν ἐπιπέδων περιέχεται, ὑποθέμενοι κατὰ τὰ ἐν ἀρχῇ προδιειλημμένα, διότι περὶ τὰ μεταξὺ τοῦ τε μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος ε μοίραις ἑκάτερος αὐτῶν τὸ πλεῖστον βορειότερος καὶ νοτιώτερος γίνεται τῶν ἐναντίων κατὰ τὸν ἐπίκυκλον παρόδων, ἐπειδήπερ ὁ μὲν τῆς Ἀφροδίτης ἀδιαφόρῳ μείζονα καὶ ἐλάττονα τῶν ε μοιρῶν τὴν κατὰ τὸ περίγειον καὶ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου παραχώρησιν φαίνεται ποιούμενος, ὁ δὲ τοῦ Ἑρμοῦ μιᾶς ἔγγιστα μοίρας ἡμίσει. ἔστω τοίνυν πάλιν ἡ ΑΒΓ κοινὴ τομὴ τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ ἐπικύκλου, καὶ γραφέντος περὶ τὸ Β σημεῖον τοῦ Γ∠Ε ἐπικύκλου λοξοῦ πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον, καθʼ ὃν ἐκτεθείμεθα τρόπον, ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ ἐφαπτομένη τοῦ ἐπικύκλου ἡ Α∠; ,ἤχθωσάν τε ἀπὸ τοῦ ∠κάθετοι ἐπὶ μὲν τὴν ΓΒΕ ἡ ∠Ζ, ἐπὶ δὲ τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον ἡ ∠Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠ καὶ ΖΗ καὶ ΑΗ, ὑποκείσθω δὲ ἡ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία περιέχουσα τὴν ἡμίσειαν τῆς ἐκκειμένης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως καθʼ ἑκάτερον τῶν ἀστέρων οὖσαν τοιούτων β U+2220΄, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ. καὶ προκείσθω τὴν πηλικότητα τῆς λοξώσεως ἑκατέρου τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, τουτέστι τὴν πηλικότητα τῆς ὑπὸ ∠ΖΗ γωνίας. ἐπὶ μὲν δὴ τοῦ τῆς Ἀφροδίτης, ἐπειδή, οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου μγ ι, τοιούτων τὸ μὲν μέγιστον ἀπόστημα ξα ιε, τὸ δὲ ἐλάχιστον νη με ,καὶ τὸ μεταξὺ τούτων γίνεται ξ, ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν Β∠ λόγον ἕξει, ὃν τὰ ξ πρὸς τὰ μγ ι. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν μα μ. ὁμοίως δʼ, ἐπεί, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν Α∠; ,καὶ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ ,τῶν αὐτῶν καὶ τὴν ∠Ζ ἕξομεν κθ νη. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία ὑπόκειται, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β λ, οἵων δʼ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε, εἴη ἂν ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοι- ούτων ε, οἵων ὁ περὶ τὸ Α∠Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ∠Η τοιούτων ε ιδ, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ Α∠ εὐθεῖα μία μ, τοιούτων ἡ ∠Η ἔσται α ν. τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ ∠Ζ ἐδέδεικτο κθ νη· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ζ κ, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία τῆς λοξώσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ζ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων γ λ. ἀλλʼ ἐπεὶ καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῆς ὑπὸ ∠ΑΖ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΖ περιέχει τὴν γινομένην τῆς κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεως διαφοράν, αὐτόθεν καὶ ταύτην συνεπιλογιστέον ἀπὸ τῆς καταλαμβανομένης αὐτῶν πηλικότητος. ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Η εὐθεῖα ν, τοιούτων ἡ μὲν Α∠ ὑποτείνουσα μα μ, ἡ δὲ ∠Ζ ὁμοίως κθ νη, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η λειφθὲν ὑπὸ τῶν ἀφʼ ἑκατέρας τῶν Α∠ καὶ ∠ποιεῖ τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΑΗ καὶ ΗΖ ,ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΑΗ μήκει τῶν αὐτῶν μα λζ, τὴν δὲ ΗΖ ὁμοίως κθ νε· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΖΗ ἔσται πς ις, ἡ δʼ ὑπὸ ΖΑΗ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢α νς, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων με νη. ὁμοίως δʼ, ἐπεὶ καί, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ ∠Ζ γίνεται πς ιη, καὶ τὴν ὑπὸ ∠Α γωνίαν ἕξομεν, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων 𝒢α νη, οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων με νθ. ἐνέλειπεν ἄρα παρὰ τὴν λόξωσιν ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῷ ἑνί. ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ, ἐπειδή, οἵων ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κβ λ, τοιούτων τὸ μὲν μέγιστον ἀπόστημα ἐδείχθη ξθ, τὸ δὲ διάμετρον νζ, καὶ τὸ μεταξὺ τούτων συνάγεται τῶν αὐτῶν ξγ, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγον ἔχει, ὃν τὰ ξγ πρὸς τὰ κβ λ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ∠Β λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει νη να. ὁμοίως δʼ, ἐπεί, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Α∠; ,καὶ ἡ Β∠ πρὸς ∠Ζ ,τῶν αὐτῶν καὶ ἡ ∠Ζ ἔσται κα α. πάλιν, ἐπεῖ ἡ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τοιούτων ὑπόκειται ε, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ, εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ∠Η περιφέρεια τοιούτων ε, οἵων ὁ περὶ τὸ Α∠Η ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ∠Η τοιούτων ε ιδ, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ Α∠ εὐθεῖα νη να, τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἔσται β λδ. τῶν δʼ αὐτῶν καὶ ἡ ∠ἐδέδεικτο κα α· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ιδ μ, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία τῆς λοξώσεως, οἵων μέν εἴσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιδ, οἵων δʼ αἰ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ζ. ὁμοίως δὲ καὶ τῆς συγκρίσεως τῶν τῆς προσθαφαιρέσεως γωνιῶν ἕνεκεν, ἐπειδὴ πάλιν, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Η εὐθεῖα β λδ, τοιούτων ἡ μὲν Α∠ ὑποτείνουσα ἐδείχθη νη να, ἡ δὲ ∠Ζ ὁμοίως κα α, τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ∠λειφθὲν ὑπὸ τῶν ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ∠Α καὶ ∠Ζ ποιεῖ τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΑΗ καὶ ,ἕξομεν καὶ τὴν μὲν ΑΗ μήκει νη μζ, τὴν δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν νγ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ ΑΗ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΗΖ ἔσται μβ λη, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΑ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μα λη, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων κ μθ. κατὰ ταὐτὰ δʼ, ἐπεὶ καί, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ ∠Ζ συνάγεται μβ ν, καὶ τὴν ὑπὸ ∠ΑΖ γωνίαν ἕξομεν, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων μα ν, οἵων δὲ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων νε. ἐνέλειπεν ἄρα καὶ ἐπὶ τούτου παρὰ τὴν λόξωσιν ἡ κατὰ μῆκος προσθαφαίρεσις ἑξηκοστοῖς ς· ἅπερ προέκειτο εὑρεῖν. τούτοις δὲ ἐφεξῆς ἴδωμεν, εἰ ταύτας ὑποθέμενοι τὰς τῶν λοξώσεων πηλικότητας συμφώνους εὑρίσκομεν τὰς κατὰ τὰ μέγιστα καὶ ἐλάχιστα ἀποστήματα μεγίστας κατὰ πλάτος παρόδους ταῖς ἐκ τῶν τηρήσεων κατειλημμέναις, ὑποκείσθω τε πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς τὸ μέγιστον πρῶτον ἀπόστημα τοῦ τῆς Ἀφροδίτης ἀστέρος, τουτέστιν ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ὁ τῶν ξα ιε πρὸς τὰ μγ ι, ὥστʼ, ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ∠,καὶ ταύτην συνάγεσθαι τῶν αὐτῶν μγ κζ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Α∠; ,καὶ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ · καὶ ἡ ∠Ζ ἄρα εὐθεῖα τῶν αὐτῶν ἔσται λ λζ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ∠ΖΗ γωνία τῆς λοξώσεως ὑπόκειται τοιούτων ζ, οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ, ἡ δὲ ∠Η εὐθεῖα τοιούτων ζ κ, οἵων ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ, καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα λ λζ, ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως μγ κζ, τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἔσται α νβ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠ἔσται ε θ, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τῆς μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ νδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β κζ. κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα, ἐπειδή, οἵων ἐστὶν ἡ Β∠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου μγ ι, τοιούτων καὶ ἡ ΑΒ ὑπόκειται νη με, τὸ δʼ ἀπὸ τῆς ∠Β λειφθὲν ὑπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ,καὶ ταύτην ἕξομεν μήκει τῶν αὐτῶν λθ να. ὁμοίως τʼ, ἐπεί, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Α∠; ,καὶ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ ,καὶ ἡ ∠Ζ ἔσται τῶν αὐτῶν κθ ιζ. ἀλλʼ ὁ τῆς ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Η λόγος ὑπόκειται ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ ζ κ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα κθ ιζ, ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως λθ να, τοιούτων καὶ ἡ ∠Η γίνεται α μζ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ε κβ, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τῆς μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε η, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β λδ. ἀδιαφόρῳ ἄρα πρὸς αἴσθησιν τῆς κατὰ τὸν μέσον λόγον κατὰ πλάτος παραχωρήσεως β U+2220΄μοιρῶν ὑποκειμένης ἐλάττων μὲν γέγονεν ἡ κατὰ τὸ ἀπόγειον, πλείων δʼ ἡ κατὰ τὸ περίγειον, ἐπειδήπερ ἡ μὲν κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα τρισὶ μόνοις ἐνέλειπεν ἑξηκοστοῖς, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἐλάχιστον τέτρασιν ἑξηκοστοῖς ἐπλεόνασεν, ἅπερ ἐκ τῶν τηρήσεων εὐκατανόητα γίνεσθαι παντάπασιν οὐκ ἐνεδέχετο. πάλιν ὑποκείσθω τὸ μέγιστον ἀπόστημα τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ, τουτέστιν ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ὁ τῶν ξθ πρὸς τὰ κβ λ, ὡς διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἐπάνω συνάγεσθαι τὴν μὲν Α∠ τῶν αὐτῶν ξε ιδ, τὴν δὲ ∠ὁμοίως κα ιϛ. ἀλλὰ καὶ ἐνθάδε τὴν ὑπὸ ∠ΖΗ γωνίαν ἔχομεν τῆς λοξώσεως ὑποκειμένην τοιούτων ιδ, οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τὴν δὲ ∠Η εὐθεῖαν διὰ τοῦτο τοιούτων ιδ μ, οἵων ἐστὶν ἡ ∠Ζ ὑποτείνουσα ρκ· καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα κα ιϛ, ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως ξε ιδ, τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἔσται β λς. ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται δ μζ, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία τῆς μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, οἵων μέν εἰσιν α β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ὁ λδ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β ιζ. ἐπὶ δὲ τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος ὁ μὲν τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ὑπόκεται ὁ τῶν νζ πρὸς τὰ κβ λ, διὰ ταὐτὰ δὲ πάλιν ἡ μὲν Α∠ τῶν αὐτῶν νβ κβ, ἡ δὲ ∠Ζ ὁμοίως κ μ. ἐπεὶ δὲ διὰ τὴν αὐτὴν λόξωσιν ὑπόκειται ὁ τῆς Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Η λόγος ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ ιδ μ, καὶ οἵων ἐστὶν ἡ μὲν ∠Ζ εὐθεῖα κ μ, ἡ δὲ Α∠ ὁμοίως νβ κβ, τοιούτων καὶ ἡ ∠Η ἐστιν β λβ· ὥστε καί, οἵων ἐστὶν ἡ Α∠ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ∠Η ἔσται ε μη, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΗ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε λβ, οἵων δʼ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β μς. διήνεγκεν ἄρα τῆς κατὰ τὸν μέσον λόγον μεγίστης κατὰ πλάτος παραχωρήσεως β U+2220΄ καὶ ἐνθάδε μοιρῶν ὑποκειμένης ἡ μὲν κατὰ τὸ ἀπόγειον ἐπὶ τὸ ἐλάχιστον ιγ ἑξηκοστοῖς, ἡ δὲ κατὰ τὸ περίγειον ἐπὶ τὸ πλεῖστον ις ἑξηκοστοῖς, ἀνθʼ ὧν εἰς τὴν ἐν τῇ ψηφοφορίᾳ παρὰ τὸν μέσον λόγον διόρθωσιν τῷ δ΄ τῆς ᾱ μοίρας κατὰ τὸ τῶν τηρήσεων πρὸς αἴσθησιν διάφορον συγχρησόμεθα. τούτων δʼ ἀποδεδειγμένων, καὶ ὅτι, ὡς αἱ μέγισται κατὰ μῆκος προσθαφαιρέσεις πρὸς τὰς μεγίστας κατὰ πλάτος παρόδους, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τοῦ ἐπικύκλου τμημάτων αἱ κατὰ μέρος τοῦ μήκους προσθαφαιρέσεις πρὸς τὰς κατὰ μέρος τοῦ πλάτους παρόδους, αὐτόθεν ἡμῖν πρόχειρος γέγονεν ἐν τοῖς ἐκκειμένοις δ΄ σελιδίοις τῶν κανονίων τοῦ τε τῆς Ἀφροδίτης καὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ ἡ τῶν ἐκ τῆς λοξώσεως κατὰ πλάτος παρόδων παράθεσις, τῶν μέντοι παῤ αὐτὴν μόνην τὴν λόξωσιν τῶν ἐπικύκλων καὶ ἀπὸ τῆς μέσης ἐπιβολῆς, ὡς ἔφαμεν, συναγομένων, τῆς παρά τε τὴν τῶν ἐκκέντρων ἔγκλισιν καὶ ἔτι παρὰ τὸ ἀπόγειον καὶ περίγειον τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ διαφορᾶς διὰ τὸ εὐμεθόδευτον ἐκ τῆς ἐπενεχθησομένης ψηφοφορίας τὴν διόρθωσιν ἀποληψομένης. ἐπεὶ γὰρ κατὰ τοὺς ἐκκειμένους μέσους λόγους ἡ μὲν κατὰ πλάτος ἀμφοτέρων τῶν ἀστέρων ἐκ τῆς λοξώσεως ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων μεγίστη πάροδος ἐδείχθη μοιρῶν β λ, ἡ δὲ κατὰ μῆκος μεγίστη προσθαφαίρεσις ἐπὶ μὲν τοῦ τῆς Ἀφροδίτης μϚ μοιρῶν, ἐπὶ δὲ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ κβ ἔγγιστα ,ἔχομεν δὲ ἐκκειμένας ἐν τοῖς τῆς ἀνωμαλίας αὐτῶν κανόσι τὰς ἐπιβαλλούσας τοῖς κατὰ μέρος τμήμασιν τῶν ἐπικύκλων προσθαφαιρέσεις, ὅσον ἂν ὦσι μέρος αὗται τῶν ὅλων κατὰ μῆκος μεγίστων προσθαφαιρέσεων, τὸ τοσοῦτον μέρος λαμβάνοντες ἐφʼ ἑκατέρου τῶν ἀστέρων οἰκείως τῶν β λ μοιρῶν τὰ γινόμενα παραθήσομεν ἐν τοῖς δ΄ σελιδίοις τῶν τοῦ πλάτους κανονίων τοῖς αὐτοῖς ἀριθμοῖς. τὰ δὲ πέμπτα σελίδια γέγονεν ἡμῖν ὑπὲρ τοῦ καὶ τὰς ἐν ταῖς ἄλλαις τῶν ἐκκέντρων παρόδοις συνισταμένας κατὰ πλάτος παραχωρήσεις διευκρινεῖν ἐκ τῆς τῶν παρατιθεμένων ἑξηκοστῶν μεθοδείας. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἔφαμεν, ἀναλόγως τῇ πρὸς τὸν ἔκκεντρον ἀποκαταστάσει καὶ αἱ τῶν ἐπικύκλων ἐγκλίσεις τε καὶ λοξώσεις τὴν τῆς αὐξομειώσεως ἀποκατάστασιν ποιοῦνται διὰ τῆς τῶν κυκλίσκων παραθέσεως, αἱ δὲ πηλικότητες τῶν ἐγκλίσεων καὶ τῶν λοξώσεων πασῶν οὐ μακράν εἰσι τῆς κατὰ τὸν λοξὸν τῆς σελήνης κύκλον, καὶ ἀνάλογον μὲν ἔχουσιν ἔγγιστα πάλιν αἱ μέχρι τῶν τηλικούτων ἐγκλίσεων κατὰ μέρος παραχωρήσεις, πεπραγματευμένας δὲ ἔχομεν γραμμικῶς τὰς τῆς σελήνης, δωδεκάκις ἑκάστην τῶν ἐκεῖ παραθέσεων ποιήσαντες διὰ τὸ τὴν μεγίστην ἐπιβολὴν ἐκεῖ μὲν εἶναι μοιρῶν ε ἔγγιστα, νῦν δὲ ἡμᾶς ποιεῖν αὐτὴν ξ, τὰ γενόμενα παρεθήκαμεν τοῖς οἰκείοις ἀριθμοῖς ἐφʼ ἑκάστου τῶν πέμπτων σελιδίων. καί ἐστιν ἡ τῶν κανονίων ἔκθεσις τοιαύτη·