Θ΄.

ϛ΄. Περὶ τοῦ τρόπου καὶ τῆς διαφορᾶς τῶν ὑποθέσεων. Γένοιτο δʼ ἂν μᾶλλον εὐκατανόητος ὁ τῶν διὰ τὰ προκείμενα συναγομένων ὑποθέσεων τρόπος οὕτως· νοείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς τῶν ἄλλων ὑποθέσεως πρῶτον ἔκκεντρος μὲν κύκλος ὁ ΑΒΙ περὶ κέντρον τὸ ∠; ,ἡ δὲ διὰ τοῦ ∠καὶ τοῦ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ διάμετρος ἡ Α∠Γ, ἐφʼ ἧς τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον, τουτέστιν ἡ ὄψις τῶν ὁρώντων, τὸ Ε ποιείτω τὸ μὲν Α σημεῖον τὸ ἀπογειότατον, τὸ δὲ Γ τὸ περιγειότατον, τμηθείσης δὲ τῆς ∠Ε δίχα κατὰ τὸ Ζ γεγράφθω κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι τῷ ∠Α κύκλος ἴσος δηλονότι τῷ ΑΒΓ ὁ ΗΘΚ, καὶ κέντρῳ τῷ Θ γεγράφθω ἐπίκυκλος ὁ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘΜ∠; . ὑποτιθέμεθα δὴ πρῶτον λελοξῶσθαι μὲν τό τε τῶν ἐκκέντρων κύκλων ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ ἔτι τὸ τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ τῶν ἐκκέντρων ἕνεκεν τῆς κατὰ πλάτος παρόδου τῶν ἀστέρων κατὰ τὰ περὶ τούτων ἡμῖν ἀποδειχθησόμενα, πρὸς δὲ τὰς κατὰ μῆκος παρόδους τῆς εὐχρηστίας ἕνεκεν ἐν ἑνὶ τῷ τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπιπέδῳ νοεῖσθαι πάντας μηδεμιᾶς ἐσομένης ἐπὶ τοῦ μήκους ἀξιολόγου διαφορᾶς παρά γε τὰς τηλικαύτας ἐγκλίσεις, ἡλίκαι καθʼ ἕνα ἕκαστον τῶν ἀστέρων ἀναφανήσονται. ἔπειτα τὸ μὲν ἐπίπεδον ὅλον ὁμαλῶς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων φαμὲν περιάγεσθαι περὶ τὸ Ε κέντρον μεταβιβάζον τά τε ἀπόγεια καὶ τὰ περίγεια διʼ ἐτῶν ρ μοῖραν ᾱ, τὴν δὲ ΛΘ Ν διάμετρον τοῦ ἐπικύκλου περιάγεσθαι μὲν ὑπὸ τοῦ ∠κέντρου πάλιν ὁμαλῶς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἀκολούθως τῇ κατὰ μῆκος τοῦ ἀστέρος ἀποκαταστάσει, συμπεριάγειν δὲ τά τε Λ, Μ σημεῖα τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὸ Θ κέντρον φερόμενον πάντοτε διὰ τοῦ ΗΘ ἐκκέντρου, καὶ τὸν ἀστέρα δὲ αὐτὸν κινούμενον ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἐπικύκλου πάλιν ὁμαλῶς καὶ πρὸς τὴν ἐπὶ τὸ ∠κέντρον νεύουσαν πάντοτε διάμετρον ποιούμενον τὰς ἀποκαταστάσεις ἀκολούθως τῇ μέσῃ περιόδῳ τῆς πρὸς τὸν ἥλιον ἀνωμαλίας καὶ ὡς τῆς κατὰ τὸ Λ ἀπόγειον μεταβάσεως ὡς ἐπὶ τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἀποτελουμένης. τὸ δὲ ἐπὶ τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ τῆς ὑποθέσεως ἴδιον λάβοιμεν ἂν ὑπʼ ὄψιν οὕτως· ἔστω γὰρ ὁ μὲν τῆς ἀνωμαλίας ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠; ,ἡ δὲ διὰ τοῦ ∠καὶ τοῦ Ε κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ διὰ τοῦ Α ἀπογείου διάμετρος ἡ ΑΔΕΓ, εἰλήφθω τε ἐπὶ τῆς ΑΓ τῇ ∠Ε ὡς πρὸς τὸ Α ἀπόγειον ἴση ἡ ∠Ζ. τῶν ἄλλων τοίνυν μενόντων τῶν αὐτῶν, τουτέστιν ὅλου τε τοῦ ἐπιπέδου περὶ τὸ Ε κέντρον εἰς τὰ ἑπόμενα τὸ ἀπόγειον μεταφέροντος, ὅσον καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀστέρων, καὶ τοῦ ἐπικύκλου περὶ τὸ ∠κέντρον ὁμαλῶς εἰς τὰ ἑπόμενα περιαγομένου ὡς ὑπὸ τῆς ∠Β εὐθείας καὶ ἔτι τοῦ ἀστέρος ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου κινουμένου παραπλησίως τοῖς ἄλλοις, ἐνθάδε τὸ κέντρον τοῦ ἑτέρου ἐκκέντρου, ἐφʼ οὗ πάντοτε ἴσου πάλιν ὄντος τῷ πρώτῳ τὸ κέντρον ἔσται τοῦ ἐπικύκλου, περιενεχθήσεται μὲν περὶ τὸ Ζ σημεῖον εἰς τὰ ἐναντία τῷ ἐπικύκλῳ, τουτέστιν εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων, ὁμαλῶς τε καὶ ἰσοταχῶς αὐτῳ ὡς ὑπὸ τῆς ΖΗΘ εὐθείας, ὥστε πρὸς μὲν τὰ τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖα ἅπαξ ἑκατέραν τῶν ΔΒ καὶ ΖΗΘ εὐθειῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἀποκαθίστασθαι, δὶς δὲ δηλονότι πρὸς ἀλλήλας, ἀφέξει δʼ αἰεὶ τοῦ Ζ σημείου καὶ αὐτὸ τὴν ἴσην ὁποτέρᾳ τὼν Ε∠ καὶ ∠Ζ εὐθειῶν ὡς τὴν ΖΗ, ὥστε τὸν γραφόμενον ὑπὸ τῆς εἰς τὰ προηγούμενα κινήσεως αὐτοῦ κυκλίσκον κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι τῷ Ζ διὰ παντὸς ἀφορίζεσθαι καὶ ὑπὸ τοῦ ∠κέντρου τοῦ πρώτου καὶ μένοντος ἐκκέντρου, καὶ γράφεσθαι μὲν τὸν κινούμενον ἔκκεντρον ἑκάστοτε κέντρῳ τῷ Η καὶ διαστήματι τῷ ΗΘ ἴσῳ ὄντι τῷ ∠Α, ὡς ἐνθάδε τὸν ΘΚ, τὸν δὲ ἐπίκυκλον ἐπʼ αὐτοῦ πάντοτε τὸ κέντρον ἔχειν, ὡς ἐνθάδε κατὰ τὸ Κ σημεῖον. καὶ μᾶλλον δʼ ἂν ἔτι παρακολουθήσαιμεν τοῖς ὑποτιθεμένοις ἐκ τῶν καθʼ ἕνα ἕκαστον εἰς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ἀποδειχθησομένων, ἐν οἷς καὶ τὰ κινήσαντά πως πρὸς τὰς ἐπιβολὰς τῶν ὑποθέσεων τυπωδέστερον πολλαχῆ καταφανήσεται. προληπτέον μέντοι, διότι τῶν κατὰ μῆκος περιόδων μὴ συναποκαθισταμένων τοῖς τε τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου σημείοις καὶ τοῖς τῶν ἐκκέντρων ἀπογείοις ἢ περιγείοις διὰ τὴν ὑποκειμένην αὐτῶν μετάπτωσιν αἱ κατὰ τὸν προκείμενον τρόπον ἡμῖν ἐκτεθειμέναι κατὰ μῆκος κινήσεις οὐ τὰς πρὸς τὰ ἀπόγεια τῶν ἐκκέντρων θεωρουμένας ἀποκαταστάσεις περιέχουσιν, ἀλλὰ τὰς πρὸς τὰ τροπικὰ καὶ ἰσημερινὰ σημεῖα γιγνομένας ἀκολούθως τῷ καθʼ ἡμᾶς ἐνιαυσίῳ χρόνῳ. δεικτέον δὴ πρῶτον, ὅτι καὶ κατὰ ταύτας τὰς ὑποθέσεις, ὅταν ἡ κατὰ μῆκος μέση πάροδος τοῦ ἀστέρος ἴσον ἑκατέρωθεν ἀπέχῃ τῶν ἀπογείων ἢ τῶν περιγείων, τό τε παρὰ τὴν ζῳδιακὴν ἀνωμαλίαν διάφορον ἴσον καθʼ ἑκατέραν ἀποχὴν συνίσταται καὶ ἡ κατὰ τὸν ἐπίκυκλον ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς μέσης παρόδου μεγίστη ἀπόστασις. ἔστω γὰρ ὁ ἔκκεντρος κύκλος, ἐφʼ οὗ φέρεται τὸ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον, ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΕΓ, ἐφʼ ἧς ὑποκείσθω τὸ μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ζ, τὸ δὲ τοῦ τὴν ἀνωμαλίαν ποιοῦντος ἐκκέντρου, τουτέστιν περὶ ὃ τὴν μέσην φαμὲν τοῦ ἐπικύκλου πάροδον ὁμαλῶς ἀποτελεῖσθαι, τὸ Η, καὶ διήχθωσαν αἱ ΒΗΘ καὶ ∠ΗΚ ἴσον ἑκατέρα ἀπέχουσα τοῦ Α ἀπογείου, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΑΗΒ καὶ ΑΗ∠ γωνίας, γεγράφθωσάν τε περὶ τὰ Β καὶ ∠σημεῖα ἴσοι ἐπίκυκλοι, καὶ ἐπεζεύχθωσαν μὲν αἱ ΒΖ καὶ ∠Ζ, ῆχθωσαν δὲ ἀπὸ τοῦ Ζ τῆς ὄψεως ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐφαπτόμεναι τῶν ἐπικύκλων αἱ ΖΛ καὶ ΖΜ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΗ γωνία τοῦ παρὰ τὴν ζῳδιακὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ Η∠Ζ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΖΛ τῆς παρὰ τὸν ἐπίκυκλον μεγίστης ἀποστάσεως τῇ ὑπὸ ∠ΖΜ ὁμοίως· οὕτως γὰρ καὶ τῶν ἐκ τῆς μίξεως μεγίστων τῆς μέσης ἀποστάσεων αἱ πηλικότητες ἴσαι ἔσονται. ἤχθωσαν δὴ κάθετοι ἀπὸ μὲν τῶν Β καὶ ∠ἐπὶ τὰς ΖΛ καὶ ΖΜ αἰ ΒΛ καὶ ∠Μ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς Βῶ καὶ ∠Κ αἱ ΕΝ καὶ ΕΞ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΗΕ, ὀρθαὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Ν καὶ Ξ, καὶ κοινὴ τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἡ ΕΗ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΝΗ τῇ ΞΗ, ἡ δὲ ΕΝ κάθετος τῇ ΕΞ . αἱ ΒΘ καὶ ∠Κ ἄρα εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αὐταί τε καὶ αἱ ἡμίσειαι· ὥστε καὶ λοιπαὶ αἱ ΒΗ καὶ ∠Η ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΗΖ κοινή, γωνία δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν ἡ ὑπὸ ΒΗΖ τῇ ὑπὸ ∠ΗΖ ἴση· καὶ βάσις μὲν ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ∠Ζ ἴση ἐστίν, γωνία δὲ ἡ ὑπὸ ΗΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Η∠ Ζ ἱση . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΒΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τῇ ∠Μ ἴση, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Λ καὶ Μ γωνίαι· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΛ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΖΜ ἴση ἐστίν ἅπερ προέκειτο δεῖξαι. ἔστω δὴ πάλιν καὶ τῆς τοῦ τοῦ Ἑρμοῦ ὑποθέσεως ἕνεκεν ἡ διὰ τῶν κέντρων καὶ τοῦ ἀπογείου τῶν κύκλων διάμετρος ἡ ΑΒΓ, καὶ τὸ μὲν Α ὑποκείσθω τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ, τὸ δὲ Β τὸ κέντρον τοῦ τὴν ἀνωμαλίαν ποιοῦντος ἐκκέντρου, τὸ δὲ Γ σημεῖον, περὶ ὃ τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου κινεῖται τοῦ φέροντος τὸν ἐπίκυκλον, καὶ διήχθωσαν ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη πάλιν αἵ τε Β∠ καὶ ΒΕ τῆς ὁμαλῆς καὶ εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ ἐπικύκλου κινήσεως καὶ αἱ ΓΖ καὶ ΓΗ τῆς ἰσοταχοῦς καὶ εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ ἐκκέντρου περιαγωγῆς, ὥστε δηλονότι τάς τε πρὸς τοῖς Γ καὶ Β γωνίας ἴσας εἶναι καὶ παραλλήλους τὴν μὲν Β∠ τῇ ΓΖ, τὴν δὲ ΒΕ τῃ ΓΗ, εἰλήφθω τε ἐπὶ τῶν ΓΖ καὶ ΓΗ τὰ κέντρα τῶν ἐκκέντρων καὶ ἔστω τό τε Θ καὶ τὸ Κ, καὶ ἐρχέσθωσαν οἱ περὶ αὐτὰ γραφόμενοι ἔκκεντροι, ἐφʼ ὧν εἰσιν οἷ ἐπίκυκλοι, διὰ τῶν ∠καὶ Ε σημείων, γραφέντων τε πάλιν περὶ τὰ ∠καὶ Ε σημεῖα ἴσων ἐπικύκλων ἐπεζεύχθωσαν μὲν αἱ Α∠ καὶ ΑΕ, ἤχθωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν ἐπικύκλων ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΛ καὶ ΑΜ. δεικτέον δή, ὅτι καὶ οὕτως ἡ μὲν ὑπὸ Α∠Β γωνία τοῦ παρὰ τὴν ζῳδιακὴν ἀνωμαλίαν τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ∠ΑΛ τῆς παρὰ τὸν ἐπίκυκλον μεγίστης ἀποστάσεως τῇ ὑπὸ ΕΑΜ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΘ καὶ ΒΚ καὶ Θ∠ καὶ ΚΕ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ μὲν τοῦ Γ ἐπὶ τὰς Β∠ καὶ ΒΕ αἱ ΓΝ καὶ ΓΞ, ἀπὸ δὲ τῶν ∠καὶ Ε ἐπὶ μὲν τὰς ΓΖ καὶ ΓΗ αἰ ∠Ζ καὶ ΕΗ, ἐπὶ δὲ τὰς ΑΛ καὶ ΑΜ αἱ ∠Α καὶ ΕΜ. ἐπεὶ τοίνυν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΝ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΞ, καὶ ἀρθαὶ μὲν αἱ πρὸς τοῖς Ν καὶ Ξ γωνίαι, κοινὴ δὲ ἡ ΓΒ εὐθεῖα, ἴση ἔστὶν καὶ ἡ ΓΝ εὐθεῖα τῇ ΓΞ ,τουτέστιν ἡ ∠Ζ τῇ ΕΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν Θ∠ τῇ ΚΕ ἴση, ἀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τοῖς Ζ καὶ Η γωνίαι· ὥστε καὶ ἢ τε ὑπὸ ∠ΘΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΚΗ ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΘΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ διὰ τὸ καὶ τὴν μὲν ΘΓ εὐθεῖαν τῇ ΓΚ ἴσην ὑποκεῖσθαι, κοινὴν δὲ τὴν ΓΒ, γωνίαν δὲ τὴν ὑπὸ ΘΓΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ ἴσην. ὥστε καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ὑπὸ ΒΘ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΚΕ ἴση ἐστίν, βάσις δὲ ἡ Β∠ βάσει τῇ ΒΕ . ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΒΑ πάλιν κοινή, γωνία δʼ ἡ ὑπὸ ∠ΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἴση· ὥστε καὶ βάσις μὲν ἡ Α∠ βάσει τῇ ΑΕ ἴση ἐστίν, γωνία δʼ ἡ ὑπὸ Α∠Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δέ, ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ∠Λ τῇ ΕΜ ἔστιν ἴση, ὀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τοῖς Λ καὶ Μ γωνίαι, καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΑΜ ἴση ἐστίν· ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.