Chapter 6

ι΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ, ∠ΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ∠Θ, ΘΕ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ, ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ. ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΑΒ, Α∠ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ Α∠ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Θ ἐπὶ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ΘΝ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ Γ∠, ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ. ΒΘ, ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ, συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον.