Chapter 6

ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΗΚ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠. Ἐπεζεύχθω ἡ ∠Μ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠Ε, γίνεται, ὡς ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε α ΕΓ, Ε∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΓ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠ἐστιν εὐθεῖα.