Chapter 6

ιϚ΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠δύο διήχθωσαν αἱ ∠Β, ∠Ε, καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η, Θ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ. ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς Ε∠, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς Β∠, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς Β∠ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Γ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς Κ ἄρα πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς Β∠ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠· ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς Θ Β πρὸς Β∠ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΚΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ. καί εἴσιν αἱ ΚΛ, ΒΓ παράλληλοι· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων.