μ΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μέγεθος μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθιστῆται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἄνισον ἀεὶ ὀφθήσεται. ἔστω κύκλος ὁ ΑΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠,καὶ ἀνεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠Ζ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ∠Ζ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται, ποτὲ μείζων φανήσεται, ποτὲ ἐλάσσων. ἤτοι δὴ ἡ ∠Ζ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον μείζων, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ∠Ζ παράλληλος ἡ ΕΓ, καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΓΖ, ΕΖ, ΒΓ, ΕΒ. ἔχομεν δὲ ἐν τῷ παρακειμένῳ τῷ λϚ΄ θεωρήματι, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου ἀγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΕΓ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ ΑΒ τοῦ ∠Ζ, δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ γωνίας. ἐπεὶ οὖν δέδεικταί, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΓΕ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐκκείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ Κ Α Λ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ ΓΕΑ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΚΝΜ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΝΟ, καὶ κείσθω τῇ ∠Ζ ἐκατέρα τῶν ΟΝ, ΜΝ ἴση, καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΚ παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΠ καὶ ἴσον καὶ ὅμοιον τῷ ΒΕ. πάλιν διὰ τοῦ Ο τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΟΡ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΚ τὸ ΡΝ ἄρα παραλληλόγραμμον ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΖΕ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ διαγώνιοι αἱ ΡΝ, ΠΝ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΝΠ γωνία τῆς ὑπὸ Κ ΝΡ γωνίας ἐλάσσων ἐστίν. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΝΠ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠μεγέθους ἔλασσον ὀφθήσεται. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΑ τῆς Ζ∠ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς Ζ ∠ἴσης τε καὶ ἐλάσσονος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ὑπαρχούσης. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ∠τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση, καὶ κατεσκευάσθω πάντα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον ἡμικύκλιον τὸ ΘΚ Λ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν. καὶ ἐπεὶ ἡ ∠Ζ ἴση ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΝ. καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ, καὶ ἤχθω τῇ ΘΝ παράλληλος ἡ ΚΞ, καὶ τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἴση ἡ ΚΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΘ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕ∠ ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝ∠, καὶ τῇ ΘΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ο, καὶ ἴση τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἡ ∠Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΘ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Θ∠, ΘΚ, καί ἐστιν ἴσα τε καὶ ὅμοια τοῖς ΕΖ, ΕΒ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝ∠ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕ∠, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΚ τῆς ὑπὸ ΘΝ∠. [καὶ] ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι αἰ ΕΝ, ΟΝ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΞ τῆς ὑπὸ ΘΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝΞ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΟ. τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ∠Ζ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω. τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ ΘΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ν, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΝ τῇ ∠Ζ ἴση ἡ ΝΞ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΛ, καὶ ἔστω ἴση ἑκατέρα τῶν ΝΚ, ΝΛ τῇ ∠Ζ, καὶ ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Κ τῇ ΝΞ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΚΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΞ, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΞΝ παράλληλος ἡ ΛΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΞ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΚΞ, ΞΛ, καί ἐστι τὸ μὲν ΚΞ τῷ ΕΒ ἴσον τε καὶ ὅμοιον, τὸ δὲ ΞΛ τῷ ΕΖ ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΛ τῇ ὑπὸ ΓΕ∠. μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕ∠ τῆς ὑπὸ ΓΕΑ μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΛ τῆς ὑπὸ ΘΜΚ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΟ, ΝΠ· καὶ ἡ ὑπὸ ΞΝΟ ἄρα τῆς ὑπὸ ΞΝΠ ἐλάσσων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΞΝΟ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΠ τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ καὶ βλέπεται ὑπὸ μὲν τῆς ΑΕΒ τὸ ΑΒ μέγεθος, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ τὸ ∠Ζ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.