ιδ΄.

Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου αἴ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλʼ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ τοῦ τε ἀρκτικοῦ καὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠, τῶν δὲ ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΖΗ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΓΚ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΛΜΝ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὁτὲ μὲν τὴν ΚΞΟ, ὁτὲ δὲ τὴν ΠΤΡ, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΚΟ περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου, καὶ διὰ τοῦ Ε γεγράφθω μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ ΑΛΕ ἐφάπτεται δὴ καὶ τοῦ ΖΗ ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Κ ἐλεύσεται ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Κ ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη· οὐδὲν γὰρ διαφέρει· ἔστω ὁ ΕΗΘ καὶ ἔστω ἀσύμπτωτον τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ρ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη. ἐπεὶ οὖν τοῦ ΑΒΓ κύκλου ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΒΚΓ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶ κύκλοι τέμνοντες τὸν ΒΑΓ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΦ περιφέρεια τῆς ΥΠΤ. πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΒΚΓ καὶ τοῦ Α∠Ε ἐφαπτόμενός ἐστιν ὁ ΕΡΟ, καὶ τοῦ ΕΡΟ ἄρα ὁ πόλος μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΒΚΓ ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὐ ἐστι τῶν ΖΗ, ΜΝΛ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΦΟ περιφέρεια τῆς ΥΠΡ· ἡ δὲ ΥΦ τῆς ΥΠΤ ἐλάσσων ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΦ τῆς ΡΤ μείζων ἐστίν. κείσθωσαν ὅμοιαι καὶ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΤP, ΦΧ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ρ, Χ σημεῖα, οἱ ΨΧΣ, ??ΩΡ ὅμοιαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΨΧΣ, ??ΩΡ· ἐν δὲ τὸ Σ τὴν ΣΧ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ρ τὴν ΡΩ̣? περιφέρειαν διαπορεύεται. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ρ τὴν ΡΩ̣? περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν ΨΧ ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ρ τὴν ΡΩ̣? διαπορεύεται, ἡ ΡΤ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἐν ᾧ δὲ τὸ Χ τήν ΧΨ διαπορεύεται, ἡ ΦΧ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΤΡ τῆς ΦΧ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλʼ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτεροσοῦν. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕΖ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΒΕΓ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΚΗ, ΗΜ· λέγω, ὅτι ἡ ΚΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΜ. γεγράφθωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Κ, Η, Μ, οἱ ΚΛ, ΗΘ, ΜΝ· αἱ ἄρα ΚΗ, ΛΘ περιφέρειαι ἴσαι εἰσὶ καὶ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῆς συναφῆς ὁποτεροσοῦν. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ ἡ ΛΘ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΚΗ περιφέρεια δύνει, ἀλλὰ μὴν καὶ ἐν τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται, ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΛΘ ἀνατέλλει, προσλαμβάνων τὸν χρόνον, ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ διαπορεύεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΗΟ διαπορεύεται, προσλαμβάνων τὸν χρόνον, ἐν ἡ ΗΚ δύνει. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΔΘ ἀνατέλλει, προσλαβὼν τὸν χρόνον, ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΘΟ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ἡ ΛΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΞΗΟ διαπορεύεται, προσλαβὼν τὸν χρόνον, ἐν ᾧ ἡ ΚΗ δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· αἱ ΔΘ, Κ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. καὶ ἡ ΘΝ διὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἡ ΗΜ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΛΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΝ ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΜ. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτεροσοῦν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.