Εἰς τὸ δ΄.

Καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον διὰ τῆς κατασκευῆς ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ καὶ ἡ △Χ πρὸς ΧΒ |Ἐν γὰρ τῷ πρὸ τούτου συνήγετο οὕτως ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△, △Χ πρὸς △Χ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ, ἡ ΡΒ πρὸς ΒΧ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△, τουτέστιν ἡ ΚΒ, πρὸς ΒΡ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΛΧ πρὸς Χ△, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΒ, ΒΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ. Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ △Χ πρὸς ΧΒ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ ὡς ἄρα ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ὅλην τὴν ΚΛ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ |Ὡς γὰρ ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. Ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△| Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΚ, ἡ ΚΛ πρὸς Λ△, καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△· ἀνάλογον γάρ εἰσιν ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△. Κείσθω τῇ ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ· ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται δῆλον |Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Χ△ πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΧΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ. Ἐκτὸς ἄρα τοῦ Ρ πίπτει τὸ Ζ. Ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς △Λ πρὸς ΛΧ δοθεὶς καὶ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς |Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΖX πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΧΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΧΛ πρὸς Λ△, καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ, ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ. Δέδοται δὲ ὁ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς δεδομένης σφαίρας, ἡ δὲ ΒΧ τῶν Β, Χ περάτων αὐτῆς δεδομένων καθ᾿ ὑπόθεσιν τετμημένης τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδου καὶ τῆς △Β πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ δἔδοται, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὅλη ἡ ΧΖ καὶ ὁ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΒ· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΧΛ πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶν δοθείς. Πάλιν ἐπειδὴ δέδοται ὁ λόγος τῶν τμημάτων, καὶ ὁ τοῦ ΛΑΓ κώνου πρὸς τὸν κῶνον λόγος ἔσται δοθείς· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΛΧ πρὸς ΧΡ πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΡΛ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρας τῶν ΡΛ, Λ△ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐσστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς· τὰ γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον. Ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, καὶ ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ |Ὅτι μὲν ἡ σύνθεσις τῶν λόγων λαμβάνεται τῆς Λ△ μέσης λαμβανομένης, ὡς κὰν τῇ Στοιχειώσει ἐλαμβάνετο, φανερὸν ἐπεὶ δὲ τὸ λεγόμενον ἀδιαρθρώτως πως καὶ οὐχ οὕτως, ὥστε τὴν ἔννοιαν ἀποπληρῶσαι, λέλεκται, ὡς ἔστιν εὑρεῖν ἐντυγχάνοντας Πάππῳ τε καὶ Θέωνι καὶ Ἀρκαδίῳ ἐν πολλοῖς συντάγμασιν οὐκ ἀποδεικτικῶς, ἀλλ᾿ ἐπαγωγῇ τὸ λεγόμενον παριστῶσιν, οὐδὲν ἄτοπον πρὸς βραχὺ ἐνδιατρίψαντας τῷ λόχῳ τὸ σαφέστερον παραστῆσαι. Φημὶ τοίνυν ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν μέσος τις ὅρος ληφθῇ, ὁ τῶν ἐξ ἀρχῆς ληφθέντων ἀριθμῶν λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν μέσον, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν τρίτον. Ὑπομνηστέον δὴ πρότερον πῶς ἐλέγετο λόφος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι. Ὡς γὰρ ἐν τῇ Στοιχειώσει· ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ᾿ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσίν τινα, πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθμοῦ, οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ διδόμενος λόχος, ὥς φασιν ἄλλοι τε καὶ Νικόμαχος ἐν τῷ πρώτῳ Περὶ μουσικῆς καὶ Ἡρώνας ἐν τῷ ὑπομνήματι τῷ εἰς τὴν Ἀριθμητικὴν εἰσαγωγήν, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν καὶ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ πολλαπλασιαζομένου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόχου καὶ ποιοῦντος τὸν ἡγούμενον. Καὶ κυριώτερον μὲν ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων ἡ πηλικότης ἂν λαμβάνοιτο, ἐπὶ δὲ τῶν ἐπιμορίων ἢ ἐπιμερῶν οὐκέτι τὴν πηλικότητα δυνατὸν λαμβάνεσθαι ἀδιαιρέτου μενούσης τῆς μονάδος ὥστ᾿ ἐπ᾿ ἐκείνων διαιρετέον τὴν μονάδα, ὃ εἰ καὶ μὴ κατὰ τὸ προσῆκον τῇ ἀριθμητικῇ ἀλλὰ τῇ λογιστικῇ τυγχάνει. Διαιρεῖται δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸ μέρος ἢ τὰ μέρη, ἀφ᾿ ὧν ὠνόμασται ὁ λόγος, ὥστε εἶναι ὡς ἐν σαφεστέρῳ τῷ λέχειν τοῦ μὲν ἡμιολίου λόγου πηλικότητα πρὸς τῇ μονάδι καὶ τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος, τοῦ δὲ ἐπιτρίτου πρὸς τῇ μονάδι τὸ τρίτον, ὥστε, καθὰ καὶ ἀνωτέρω εἴρηται, τὴν πηλικότητα τοῦ λόγου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον πολλαπλασιαζομένην ποιεῖν τὸν ἡγούμενον. Τοῦ γὰρ ἐννέα πρὸς τὰ ἓξ ἡμιολίου πηλικότης οὖσα ἡ μονὰς καὶ τὸ ἥμσυ πολλαπλασιασθεῖσα ἐπὶ τὸν ς΄ ποιεῖ τὸν θ, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ τὸ αὐτὸ ἔξεστι κατανοεῖν. Τούτων δὴ προσαφηνισθέντων ἐπανακτέον ἐπὶ τὸ προτεθέν, Ἔστωσαν γὰρ οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, μέσος δὲ αὐτῶν εἰλήφθω τις ὁ Γ· δεικτέον δὴ ὅτι ὁ τοῦ A πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ὁ A πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Β. Eἰλήφθω γὰρ τοῦ μὲν Α, Γ λόγου πηλικότης ὁ △,τοῦ δὲ Γ, Β ὁ E· ὁ ἄρα Γ τὸν △πολλαπλασιάσας τὸν A ποιεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ. Ὁ δὴ △τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω. Λέγω ὅτι ὁ Ζ πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγου, τουτέστιν ὅτι ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ. Ὁ γὰρ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, Ἐπεὶ οὖν ὁ Β τὸν μὲν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, ὁ πρὸς τὸν Γ. Πάλιν, ἐπεὶ ὁ △τὸν μὲν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α. Ἐναλλὰξ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Γ πρὸς τὸν Α, καὶ ἀνάπαλιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ. Ἀλλ᾿ ὡς ὁ πρὸς τὸν Ε, ἐδείχθη ὁ Η πρὸς τὸν Γ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ· ἴσος ἄρα ὁ Α τῷ Η. Ἀλλ᾿ ὁ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ ὁ Ζ ἄρα πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόχου. Καὶ ἔστιν ὁ Ζ τοῦ △ἐπὶ τὸν Ε πολλαπλασιασθέντος, τουτέστι τῆς πηλικότητος τοῦ Α, Γ λόγου ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ Γ, Β λόγου ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ πρὸς τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ ὑποδείγματος φανερὸν γένηται τὸ εἰρημένον. παρεμπιπτέτω τοῦ ιβ καὶ τοῦ β μέσος τις ἀριθμὸς ὁ δ. Λέγω ὅτι ὁ τοῦ β πρὸς τὸν β λόγος, τουτέστν ὁ ἑξαπλάσιος, σύγκειται ἔκ τε τοῦ τριπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὰ △Ζ καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ △Ζ πρὸς τὰ β. Ἐὰν γὰρ τὰς πηλικότητας τῶν λόγων πολλαπλασιάσωμεν ἐπ᾿ ἀλλήλας, τουτέστι τὸν γ ἐπὶ τὸν β, γίνεται ὁ ς΄ πηλικότης ὢν τοῦ ιβ πρὸς τὰ β λόγου, καί ἐστιν ἑξαπλάσιος, ὅνπερ καὶ προέκειτο ὑποδεῖξαι. Εἰ δὲ καὶ ὁ μέσος παρεμπίπτων μὴ ὑπάρχῃ τοῦ μὲν μείζονος ἐλάττων, τοῦ δὲ ἐλάττονος μείζων, ἀλλ᾿ ἢ τὸ ἀνάπαλιν ἢ ἀμφοτέρων μείζων ἢ ἀμφοτέρων ἐλάττων, καὶ οὕτως ἡ σύνθεσις ἡ προειρημένη ἀκολουθήσει. Τοῦ θ καὶ τοῦ ς΄ μέσος τις παρεμπιπτέτω ἀμφοτέρων μείζων ὁ ιβ. Λέγω ὅτι ἔκ τε τοῦ ὑπεπτρίτου τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ σύγκειται ὁ ἡμιόλιος τοῦ θ πρὸς τὰ ς΄. Ἡ γὰρ πηλικότης τοῦ τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου ἐστὶ τρία τέταρτο, τουτέστν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ἡ δὲ πηλικότης τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ ἐστὶν ὁ β, Ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν τὸν β ἐπὶ τὸ ἥμισυ καὶ τὲταρτον, γίνεται μονὰς α καὶ ἥμισυ, ἥτις πηλικότης ἐστὶ τοῦ ἡμιολίου λόγου, ὃν ἔχει καὶ ὁ θ πρὸς τὸν ς΄. Ὁμοίως δέ, κἂν τοῦ θ καὶ μέσος ἐμπέσῃ ὁ δ, ἐκ τοῦ θ πρὸς △Ζ διπλασιεπιτετάρτου καὶ τοῦ △Ζ πρὸτ ς΄. ὑφημιολίου σύγκειται ὁ ἡμιόλιος λόφος. Πάλιν γὰρ τὴν πηλικότητα τοῦ διπλασιεπιτετάρτου τὰ β δ΄ ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ ὑφημιολίου, τουτέστι τὰ δύα τρίτα, πολλαπλασιάσαντες ἕξομεν τὸ ἓν ἥμισυ πηλικότητα τοῦ ἡμιολίου, ὡς εἴρηται, λόγου. Καὶ ἐπὶ πάντων δὲ ὁμοίως ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος. Συμφανὲς δὲ ἐκ τῶν εἰρημένων ὡς, ἐὰν δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν κἂν μὴ εἷς μέσος, πλείους δὲ, παρεμπίπτωσιν ὅροι, ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκεται ἐκ πάντων τῶν λόχων, ὧν ἔχουσιν οἱ κατὰ τὸ ἑξῆς κείμενοι ὅροι ἀρχὸμενοι ἀπὸ πρώτου καὶ λήοντες εἰς τὸν ἔσχατον τῇ κατὰ τοὺς ἐχομένους τάξει. Δύο γὰρ ὄντων ὅρων τῶν Α, Β παρεμπιπτέτωσαν πλείους ἑνὸς οἱ Γ, △. Λέγω ὅτι ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόφος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △,καὶ ὁ △πρὸς τὸν Β. Ἐπεὶ γὰρ ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν △,καὶ ὁ △πρὸς τὸν Β, ὡς ἀνωτέρω εἴρηται, ὁ δὲ τοῦ Α πρὸς τὸν λόχος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △,ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △,καὶ ὁ πρὸς τὸν Β. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δειχθήσεται. Ἔτι ἐν τῷ ῥητῷ φησιν Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, ἐδείχθη τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ |Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ △Λ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΧ ἐδείχθη γὰρ ὡε ἡ ΚΛ πρὸς Λ△, ἡ Β△ πρὸς △Χ διὰ τοῦ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ. Πεποιήσθω δὲ ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ Τὸ Θ σημεῖον ὅπως ποτὲ μὲν ἂν τεθῇ, ὅσον πρὸς τὴν ἀκολουθίαν τῆς ἀποδείξεως κατʼ οὐδὲν ἐμποδὼν γίνεται τῷ λόγῳ· ὅτι δέ, καθὰ ἐν τῇ καταγραφῇ κεῖται, ἀεὶ μεταξὺ τῶν Β, Ρ πίπτει οὕτως ἔσται δῆλον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς △Κ, τουτέστι πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ, καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα, ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ, ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ, Μείζονα δὲ λόγον ἔχει ἡ ΛΡ πρὸς ΡΧ ἤπερ ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ καὶ ἡ ΛΡ ἄρα πρὸς ΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΡ πρὸς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ πρὸς ΒΡ. Ἀναστρέψαντι ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ ἐλάσσονα ἔχει λόγον ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΡ. Ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΡ. Φανερὸν δὲ αὐτόθεν ὅτι ἡ ΖΘ τῆς ΘΒ μείζων ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ Λ△ πρὸς ∠Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ, μείζων ἄρα καὶ ἡ Λ△ τῆς △Κ καὶ ἡ ΚB τῆς ΒΡ ὥστε καὶ ἡ Λ△ τῆς ΒΡ. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΛΧ τῆς ΧΡ μείζων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΘΒ. Λοιπὸν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ Β△, τουτέστι τὸ δοθέν, πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, οὕτως ἡ ΖΧ πρὸς ΖΘ Ἐπεὶ γὰρ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΘΖ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ, τῷ δὲ αὐτῷ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΘ ὁ αὐτός ἐστι καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ, καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τοῦ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ. Ἐὰν οὖν τὸν ἐν ἀμφοτέροις τοῖς λόφοις κοινὸν ἀφέλωμεν τὸν τῆς ΒΖ πρὸς ΧΖ, λοιπὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ. Καὶ δὴ δοθεῖσαν τὴν τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν· τουτέστι τὴν ΖΘ· οὕτως τὸ δοθέν τουτέστι τὸ ἀπὸ Β△· πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Χ. Τοῦτο δὲ οὕτως ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορισμόν, προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ τοῦ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, ὡς κατὰ τὴν ἀνάλυσιν· οὐκ ἔχει διορισμόν καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, τὴν ΧΖ πρὸς ΖΘ· ἑκάτερα δὲ ταῦτα ἐπὶ τέλει ἀναλυθήσεται καὶ συντεθήσεται |Ἐπὶ τέλει μὲν τὸ προρηθὲν ἐπηγγείλατο δεῖξαι, ἐν οὐδενὶ δὲ τῶν ἀντιγράφων εὑρεῖν ἔνεστι τὸ ἐπάχγελμα. Ὅθεν καὶ Διονυσόδωρον μὲν εὑρίσκομεν μὴ τῶν αὐτῶν ἐπιτυχόντα, ἀδυνατήσαντα δὲ ἐπιβαλεῖν τῷ καταλειφθέντι λήμματι, ἐφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν τοῦ ὅλου προβλήματος ἐλθεῖν, ἥντινα ἑξῆς γράψομεν Διοκλῆς μέντοι καὶ αὐτὸς ἐν τῷ Περὶ πυρίων αὐτῷ συγγεγραμμένῳ βιβλίῳ ἐπηγγέλθαι νομίζων τὸν Ἀρχιμήδη, μὴ πεποιηκέναι δὲ τὸ ἐπάγγελμα, αὐτὸς ἀναπληροῦν ἐπεχείρησεν, καὶ τὸ ἐπιχείρημα ἑξῆς γράψομεν ἔστιν γὰρ καὶ αὐτὸ οὐδένα μὲν ἔχον πρὸς τὰ παραλελειμμένα λόγον, ὁμοίως δὲ τῷ Διονυσοδώρῳ διʼ ἑτέρας ἀποδείξεως κατασκευάζον τὸ πρόβλημα. Ἔν τινι μέντοι παλαιῷ βιβλίῳ οὐδὲ γὰρ τῆς εἰς πολλὰ ζητήσεως ἀπὲστημεν ἐντετύχαμεν θεωρήμασι γεγραμμένοις οὐκ ὀλίγην μὲν τὴν ἐκ τῶν πταισμάτων ἔχουσιν ἀσὰφειαν περί τε τὰς καταγραφὰς πολυτρόπως ἡμαρτημένοις, τῶν μέντοι ζητουμένων εἶχον τὴν ὑπόστασιν, ἐν μέρει δὲ τὴν Ἀρχιμήδει φίλην Δωρίδα γλῶσσαν ἀπέσωζον καὶ τοῖς συνήθεσι τῷ ἀρχαίῳ τῶν πραγμάτων ὀνόμασιν ἐγέγραπτο τῆς μὲν παραβολῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ὀνομαζομένης, τῆς δὲ ὑπερβολῆς ἀμβλυγωνίου κώνου τομῆς, ὡς ἐξ αὐτῶν διανοεῖσθαι, μὴ ἄρα καὶ αὐτὰ εἴη τὰ ἐν τῷ τέλει ἐπηγγελμένα γράφεσθαι. Ὅθεν σπουδαιότερον ἐντυγχάνοντες αὐτὸ μὲν τὸ ῥητόν, ὡς γέγραπται, διὰ πλῆθος, ὡς εἴρηται, τῶν πταισμάτων δυσχερὲς εὑρόντες τὰς ἐννοίας κατὰ μικρὸν ἀποσυλήσαντες κοινοτέρᾳ καὶ σαφεστέρᾳ κατὰ τὸ δυνατὸν λέξει γράφομεν. Καθόλου δὲ πρῶτον τὸ θεώρημα γραφήσεται, ἵνα τὸ λεγόμενον ὑπʼ αὐτοῦ σαφηνισθῇ περὶ τῶν διορισμῶν εἶτα καὶ τοῖς ἀναλελυμένοις ἐν τῷ προβλήματι προσαρμοσθήσεται. Εὐθείας δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΓ καὶ χωρίου τοῦ △προκείσθω λαβεῖν ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον ὡς τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς ΑΓ, οὕτω τὸ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ. Γεγονέτω, καὶ κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΗ, διὰ δὲ τοῦ Β τῷ ΑΓ παράλληλος ἡ ΖΒΗ συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν ΓE, ΓΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΓΘ, ΗΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ τῷ △ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΗΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △πρὸς τὸ ἀπο ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, οὕτως τὸ △πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ∠,τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ, τῆς ΗΖ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΗΖ τῷ ἀπὸ ΖΚ. Ἐὰν ἄρα περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γραφῇ διὰ τοῦ Η παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ, ἥξει διὰ τοῦ Κ, καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ δεδομένην εἶναι τὴν ΗΜ τῷ μεγέθει περιέχουσαν μετὰ τῆς ΗΓ δεδομένης δοθὲν τὸ △· τὸ ἄρα Κ ἅπτεται θέσει δεδομένης παραβολῆς. Γεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΚ. Πίλιν, ἐπειδὴ τὸ ΘΛ χωρίον ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΗ, ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ, ΓΗ γραφῇ ὑπερβολή, ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ η΄ θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ ἑκατέραν τῶν ΘΓ, ΓΗ, ἔτι μὴν καὶ τὸ Β τῇ θέσει δεδόσθαι. Γεγράφθω, ὡς εἴρηται, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΒ· τὸ ἄρα ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερβολῆς. Ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης παραβολῆς δέδοται ἄρα τὸ Κ. Καί ἐστιν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΚΕ ἐπὶ θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ· δέδοται ἄρα τὸ Ε, Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ, οὕτως δοθὲν τὸ △πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, δύο στερεῶν, ὧν βάσεις τὸ ἀπὸ ΕΒ καὶ τὸ △,ὕψη δὲ αἰ ΕΑ, ΑΓ, ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕφεσιν ὥστε ἴσα ἐστὶ τὰ στερεά τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΒ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ δοθέντι τῷ △ἐπὶ δοθεῖσαν τὴν ΓΑ, Ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ, ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ, ὡς δειχθήσεται· δεῖ ἄρα τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ. Συντεθήσεται δὲ οὕτως ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἄλλη δὲ τις δοθεῖσα ἡ ΑΓ, τὸ δὲ δοθὲν χωρίον τὸ △,καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὸ ἓν τμῆμα πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ δοθὲν τὸ △πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος. Εἰλήφθω τῆς ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΑΕ· τὸ ἄρα △ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον. Εἰ μὲν οὖν μεῖζόν ἐστιν, οὐ συντεθήσεται, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται· εἰ δὲ ἴσον ἐστί, τὸ Ε σημεῖον ποιήσει τὸ πρόβλημα. Ἴσων γὰρ ὄντων τῶν στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. Εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ ∠ἐπὶ τὴν ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, συντεθήσεται οὕτως κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ. Ἐπεὶ οὖν τὸ △ἐπὶ τὴν ΑΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ. Ἔστω οὖν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, καὶ τῷ △ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΖΝ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △,τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ, τῆς ΖΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΗΜ τῷ ὑπὸ ΗΖΝ. Ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γράψωμεν παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΖΝ, ἥξει διὰ τοῦ Μ. Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΞΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΛ τῷ ΑΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ, ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ, ΓΖ γράψωμεν ὑπερβολήν, ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ η΄ θεωρήματος τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Γεγράφθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΚ τέμνουσα τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΟΠ, καὶ διὰ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΡΞΣ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞΚ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΓ, ΓΖ, καὶ παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΡΞΓ ταῖς ΑΒΖ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΡΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ ὥστε καὶ τὸ ΡΟ τῷ ΟΖ. Ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευχθῇ εὐθεῖα, ἥξει διὰ τοῦ 0. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΟΣ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΟΒ πρὸς ΒΣ, τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ, τῆς ΖΝ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ, Καί ἐστι τῷ μὲν ὑπὸ ΓΖΝ ἴσον τὸ △χωρίον, τῷ δὲ ὑπὸ ΣΖΝ ἴσον τὸ ἀπὸ ΣΞ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΟ διὰ τὴν παραβολήν· ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΟ. Εἴληπται ἄρα τὸ Ο σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα. Ὅτι δὲ διπλασίας οὔσης τῆς ΒΕ τῆς ΕΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ δειχθήσεται οὕτως. Ἔστω γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, πάλιν δοθεῖσα εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΑΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ διὰ τοῦ Β παραλλήλῳ ἠχμένῃ τῇ ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τῶν Γ, Ζ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΘΖ, ΓΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ταύτῃ παράλληλος διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ διὰ τὸ δύο στερεῶν ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν. Λέγω οὖν ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως ἐπὶ τῆς ΒΑ λαμβανομένων. Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ· ἥξει δὴ διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται, καὶ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ ΘΓ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς διὰ τὸ ἕβδομον καὶ εἰκοστὸν θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΝΓΗ γεγράφθω ὑπερβολή ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει εἴρηται. Ἐρχέσθω οὖν ὡς ἡ ΒΚ, καὶ ἐκβληθείσῃ τῇ ΖΗ ἴση κείσθω ἡ ΗΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο· φανερὸν ἄρα ὅτι ἐφάπτεται τῆς παραβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τετάρτου καὶ τριακοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ, οὕτως γὰρ ὑπόκειται, τουτέστιν ἡ ΖΚ τῆς ΚΘ, καί ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΘΚ τρίγωνον τῷ ΞΖΚ τργώνῳ, διπλασία ἐστὶ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΟ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΠ διπλῆ διὰ τὸ καὶ τὴν ΞΖ τῆς ΞΗ καὶ παράλληλον εἶναι τὴν ΠΗ τῇ ΚΖ ἴση ἄρα ἡ ΟΚ τῇ ΚΠ. Ἡ ἄρα ΟΚΠ ψαύουσα τῆς ὑπερβολῆς καὶ μεταξὺ οὖσα τῶν ἀσυμπτώτων δίχα τέμνεται· ἐφάπτεται ἄρα τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τρίτου θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐφήπτετο δὲ καὶ τῆς παραβολῆς κατὰ τὸ αὐτὸ Κ· ἡ ἄρα παραβολὴ τῆς ὑπερβολῆς ἐφάπτεται κατὰ τὸ Κ. Νενοήσθω οὖν καὶ ἡ ὑπερβολὴ προσεκβαλλομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Σ, καὶ διὰ τοῦ τῇ ΚΛ παράλληλος ἤχθω ἡ ΤΣΥ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Τ, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΓΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΦΤΧ Ἐπεὶ οὖν διὰ τὴν ὑπερβολὴν καὶ τὰς ἀσυμπτώτους ἴσον ἐστὶ τὸ ΦΥ τῷ ΓΒ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΣ ἴσον γίνεται τὸ ΦΣ τῷ ΣΗ, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Σ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΣΧ. Καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΨΧ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΧΗΜ διὰ τὴν παραβολήν, τὸ ἀπὸ ΤΧ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΧΗΜ. Γεγονέτω οὖν τῷ ἀπὸ ΤΧ ἴσον τὸ ὑπὸ ΧΗΩ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΣΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ, τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΗΩ καὶ πρὸς τὸ ἴσον αὐτῷ τὸ ἀπὸ ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΣ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ. Τὸ δὲ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΓΑ τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν σημείων τῶν μεταξὺ λαμβανομένων τῶν Ε, Β. Ἀλλὰ δὴ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Ε, Α σημεῖον τὸ Ϛ. Λέγω ὅτι καὶ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ. Τῶν γὰρ αὐτῶν κατεσκευασμένων ἤχθω διὰ τοῦ Ϛ τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ϥϚΡ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Ρ συμβαλεῖ γὰρ αὐτῇ διὰ τὸ παράλληλος εἶναι τῇ ἀσυμπτώτῳ· καὶ διὰ τοῦ Ρ παράλληλος ἀχθεῖσα τῇ ΑΒ ἡ Α΄ΡΒ΄ συμβαλλέτω τῇ ΗΖ ἐκβαλλομένῃ κατὰ τὸ Β΄. Καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν ὑπερβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ Γ΄ϥ τῷ ΑΗ, ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Β΄ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Ϛ. Ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ἡ Τς΄Β΄, Καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν παραβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α΄Β΄ τῷ ὑπὸ Β΄ΗΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΡΒ΄ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ Β΄ΗΜ, Γεγονέτω τὸ ἀπὸ ΡΒ΄ ἴσον τῷ ὑπὸ Β΄ΗΩ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ϚΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ΄, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ΄, τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ Β΄ΗΩ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΒ΄, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΒϚ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ. Καὶ μεῖζον τὸ ὑπὸ ΓΗΜ τοῦ ὑπὸ ΓΗΩ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν σημείων τῶν μεταξὺ τῶν Ε, Α λαμβανομένων. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Ε, Β· πάντων ἄρα τῶν ἐπὶ τῆς ΑΒ ὁμοίως λαμβανομένων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ. Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ καὶ τοῖς ἀκολουθοῦσιν κατὰ τὴν εἰρημένην καταγραφήν. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ καὶ τὸ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἔλασσον τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, δυνατόν ἐστι καὶ τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ κατὰ δύο σημεῖα τὴν ΑΒ τεμνομένην ποιεῖν τὸ ἐξ ἀρχῆς πρόβλημα. Τοῦτο δὲ γίνεται, εἰ νοήσαιμεν περὶ διάμετρον τὴν ΧΗ γραφομένην παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΩ· ἡ γὰρ τοιαύτη παραβολὴ πάντως ἔρχεται διὰ τοῦ Τ. Καὶ ἐπειδὴ ἀνάγκη αὐτὴν συμπίπτειν τῇ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ, δῆλον ὅτι τέμνει τὴν ὑπερβολὴν καὶ κατʼ ἄλλο σημεῖον ἀνωτέρω τοῦ Κ, ὡς ἐνταῦθα κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη, ὡς ἐνταῦθα ἡ ΡϚ, τέμνει τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ϛ, ὥστε τὸ Ϛ σημεῖον ποιεῖν τὸ πρόβλημα, καὶ ἴσον γίνεσθαι τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ τῷ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ, ὥς ἐστι διὰ τῶν προειρημένων ἀποδείξεων ἐμφανές. Ὥστε, δυνατοῦ ὄντος ἐπὶ τῆς ΒΑ δύο σημεῖα λαμβάνειν ποιοῦντα τὸ ζητούμενον, ἔξεστιν ὁπότερόν τις βούλοιτο λαμβάνειν ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Α. Εἰ μὲν γὰρ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β, ὡς εἴρηται, τῆς διὰ τῶν Η, Τ σημείων γραφομένης παραβολῆς κατὰ δύο σημεῖα τεμνούσης τὴν ὑπερβολὴν τὸ μὲν ἐγγύτερον τοῦ Η, τουτέστι τοῦ ἄξονος τῆς παραβολῆς, εὑρήσει τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β, ὡς ἐνταῦθα τὸ Τ εὑρίσκει τὸ Σ, τὸ δὲ ἀπωτέρω τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Α, ὡς ἐνταῦθα τὸ Ρ εὑρίσκει τὸ Ϛ. Καθόλου μὲν οὖν οὕτως ἀναλέλυται καὶ συντέθειται τὸ πρόβλημα ἵνα δὲ καὶ τοῖς Ἀρχιμηδείοις ῥήμασν ἐφαρμοσθῇ, νενοήσθω ὡς ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ διάμετρος μὲν τῆς σφαίρας ἡ △Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΖ, καὶ ἡ δεδομένη ἡ ΖΘ. Κατηντήσαμεν ἄρα, φησίν, εἰς τὸ τὴν △Ζ τεμεῖν κατὰ τὸ Χ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς τὴν δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ. Τοῦτο δὲ ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορμσμόν Εἰ γὰρ τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μεῖζον ἐτύγχανεν τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ, ἀδύνατον ἦν τὸ πρόβλημα, ὡς δέδεικται, εἰ δὲ ἴσον, τὸ Β σημεῖον ἐποίει τὸ πρόβλημα, καὶ οὕτως δὲ οὐδὲν ἦν πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς Ἀρχιμήδους πρόθεσιν ἡ γὰρ σφαῖρα οὐκ ἐτέμνετο εἰς τὸν δοθέντα λόχον. Ἁπλῶς ἄρα λεγόμενον εἶχεν προσδιορισμόν προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων, τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΖΒ καὶ τοῦ μείζονα εἶναι τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, οὐκ ἔχει διορισμόν. Τὸ γὰρ ἀπὸ △Β τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν ΖΘ τὴν δοθεῖσαν ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ διὰ τὸ τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ μείζονα εἶναι, οὗπερ ὑπάρχοντος ἐδείξαμεν δυνατόν, καὶ ὅπως προβαίνει τὸ πρόβλημα. Κατανοεῖν δὲ χρὴ καὶ τοῖς ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους λεγομένοις συμφώνως ἔχουσιν τοῖς ὑφʼ ἡμῶν ἀναλελυμένοις. Πρότερον μὲν γὰρ μετὰ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ καθόλου τὸ εἰς ὃ κατήντησεν λέγων φησίν δοθεῖσαν τὴν △Ζ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ εἶτα εἰπὼν ὡς καθόλου μὲν τὸ λεγόμενον ἔχει διορισμὸν, προστεθέντων δὲ τῶν ὑπ᾿ αὐτοῦ εὑρεθέντων προβλημάτων, τοῦ τε εἶναι διπλασίαν τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, μὴ ἔχειν διορισμόν μερικώτερον ἐπαναλαμβάνει τὸ πρόβλημα καί φησιν ὅτι καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ, οὐκέτι, ὡς πρότερον, τὴν △Ζ εἰπὼν ἀλλὰ τὴν △Β δεῖν τεμεῖν διὰ τό, ὡς ἀνωτέρω ἡμεῖς ἀπεδείξαμεν, εἰδέναι αὐτὸν ὡς δύο σημεῖά ἐστι τὰ λαμβανόμενα ἐπὶ τῆς △Ζ καὶ ποιοῦντα τὸ πρόβλημα, ἓν μὲν τὸ μεταξὺ τῶν △,Β, ἕτερον δὲ τὸ μεταξὺ τῶν Β, Ζ, ὧν τὸ μεταξὺ τῶν △,Β ἦν τὸ πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρόθεσιν χρήσιμον. Ταῦτα μὲν οὖν ἀκὸλουθα τοῖς Ἀρχιμήδους ῥήμασιν κατὰ τὸ δυνατὸν σαφῶς ἀπεγραψάμεθα ἐπεὶ δὲ, ὡς προείρηται, καὶ Διονυσόδωρος οὐδαμοῦ τοῖς ἐπὶ τέλει γραφομένοις παρ᾿ Ἀρχιμήδους ἐπηγγελμένοις ἐντυχών, ἀτονήσας δὲ ὥσπερ προσευρεῖν τὰ μὴ ἐκτεθέντα ἑφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν βαδίζων τοῦ ὅλου προβλήματος οὐκ ἄχαριν εὑρέσεως συνεχράψατο τρόπον, ἀναγκαῖον ᾠήθημεν δεῖν καὶ αὐτὸν τούτοις ἐπισυνάψαι διορθωσάμενοι κατὰ δύναμιν καὶ γὰρ αὐτὸς ἐκ πολλῆς ἀμελετησίας τῶν ἀνθρώπων τὰ πολλὰ τῶν ἀποδείξεων τῷ πλήθει τῶν πταισμάτων ἠφανισμένα ἔχων ἐν πᾶσιν, οἷς ἡμεῖς ἐντετύχαμεν, ἀντιγράφοις ἐφέρετο.