Ὡς Διονυσόδωρος.

Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα αὐτῆς πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα. Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε. Δδεῖ δὴ τεμεῖν τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὴν ΑΒ, ὥστε τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, λόχον ἔχειν, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΕ πρὸς Ε△, ἐχέτω ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἔστω ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ τῶν ΖΑ, ΑΗ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ ΑΘ μείζων ἄρα ἡ ΑΘ τῆς ΑΗ. Καὶ περὶ ἄξονα τὴν ΖΒ διὰ τοῦ Ζ γεγράφθω παραβολή, ὥστε τὰς καταχομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΑΗ ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Θ, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ γεγράφθω οὖν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΖΘΚ, καὶ διὰ τοῦ Β ἀνήχθω παρὰ τὴν ΑΘ ἡ ΒΚ καὶ τεμνέτω τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Η περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΖΒΚ γεγράφθω ὑπερβολή τεμεῖ δὴ τὴν παραβολὴν μεταξὺ τῶν Θ, Κ. Τεμνέτω κατὰ τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ διὰ Η, Λ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΝ, ΛΞ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΗΛ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΑΒΚ, καὶ παράλληλοι ταῖς ΑΗΝ αἱ ΜΛΞ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΗΝ τῷ ὑπὸ ΜΛΞ διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΗΝ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΛΞ τῇ ΜΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΛΜΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ καὶ διὰ τὸ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν μέσων αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως τὸ ἀτὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν παραβολὴν τὸ ἀπὸ ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΜ, ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς ΑΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῷ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ· ὧν γὰρ κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, σοι εἰσὶν ἐκεῖνοι. Ἀλλ᾿ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς Ε△· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὁ κῶνος ἄρα ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἐστὶν ὡς ἡ ΤΕ πρὸς Ε△. Ἀλλ᾿ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ, ὁ δὲ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται· καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα πρὸς τὸ εἰρημένον τμῆμα λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΓΕ πρὸς Ε△ καὶ διελόντι τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, ὕψος δὲ ἡ ΑΜ, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε. Τὸ ἄρα διὰ τῆς ΛΜ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τέμνει τὴν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόγον ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. Ὅτι δὲ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, δειχθήσεται οὕτως. Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ τὴν ΟΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΜΟ. Ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, ὕψος δὲ τὴν ΜΟ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν ὥστε καὶ τῷ τμήματι ἴσος ἐστίν.