Εἰς τὸ γ΄ θεώρημα.

Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ |Διὰ οὖν τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ. Καὶ ὑπέκειτο ἡ μὲν ΑΗ ἐλάσσων ἢ βϠῑᾱ, ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤπερ γῑγ L΄ δ΄· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ ἐστὶν ἐλάσσων ἢ εϠκδ L΄ δ΄. Η δὲ ΗΓ ἐστὶ ψπ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εϠκδ L΄ δ΄ πρὸς ψπ· ὥστε καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εϠκδ L΄ δ΄ πρὸς ψπ. Ὥστε ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ υνε L΄ δ΄ πρὸς ξ· ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ἐστὶ μέρος ιγ΄· καὶ τὰ τούτων τετραπλάσια, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ᾱωκγ πρὸς σμ· διὰ τοῦτο γάρ φησιν ὅτι ἑκατέρα ἑκατέρας ἐστὶ δ ιγ΄. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΘ ἐστὶν ᾱωκγ, τὸ ἄρα ἀπʼ αὐτῆς ἐστι Μ γτκθ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς Μ ζχ· καὶ ἔστι τοῖς ἀπὸ ΑΘ, ΘΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ· ἔστιν ἄρα ΜϠκθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ᾱωλη θ ια΄· τὸ γὰρ ἀπ᾿ αὐτῆς ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μ τκᾱ ἐγγύς. Ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ᾱωλη θ ια΄ πρὸς σμ, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·