Εἰς τὸ γ΄ θεώρημα.

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ |Πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. Ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ γχξα θ ια΄, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπόκειται αωκυ, ἡ δὲ ΑΓ αωλη θ ια΄. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γχξα θ ια΄ πρὸς σμ· ὥστε καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γχξα θ ια΄ πρὸς σμ. Καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν γχξα θ ια΄ τὸ ια μ΄ ἐστὶ αζ, τῶν δὲ σμ ξϚ, ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ αζ πρὸς ξϚ. Καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ ΑΚ Μ δμθ, τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ δτνϚ, οἷς ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐσνὶ Μ ηυε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴν αθ Ϛ΄ ἔγγιστα ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μιβ γ΄ λϚ΄. Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ αθ Ϛ΄ πρὸς ξϚ΄, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·