Εὐτοκίου εἰς τὸ β τῶν ἰσορροπικῶν Ἀρχιμήδους.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἁ ΒΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἁ ΚΜ πρὸς ΜΖ· ὅμοια γὰρ ὄντα τὰ τμήματα ἕξει κέντρα εἰς τοὺς αὐτοὺς λόφους τέμνοντα τὰς διαμέτρους· καὶ συνθέντι ὡς ἁ Β△ πρὸς △Θ, ἁ ΚΖ πρὸς ΖΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἁ Β△ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἁ △Θ πρὸς ΜΖ, τετραπλασία δὲ ἡ Β△ τῆς ΚΖ· τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει δείκνυται, οὗ σαμεῖον (??)|Ἑξῆς δὲ αὐτὸ ἡμεῖς δείξομεν. Ἔστω παραβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἧς διάμετρος ἡ Β△, καὶ ἤχθω τεταγμένως ἡ Α△, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑB κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ Β△ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν τοῦ ΑΒ τμήματος. Καὶ ἀπὸ τῶν, Ε, παρατεταγμένως ἤχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΘ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ, διπλῆ ἐστιν ἡ ΑB τῆς ΖΒ καὶ ἡ △Β τῆς ΒΘ καὶ ἡ Α△ τῆς ΖΘ, τουτέστι τῆς ΕΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ Α△ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἐστὶ τετραπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο ἡ △Β τῆς ΒΗ ἐστὶ τετραπλασία μήκει. Ἐπεὶ οὖν ἡ Β△ τῆς ΒΘ διπλῆ, ἡ ΒΘ τῆς ΒΗ ἐστὶ διπλῆ. Καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΒ ἴση, τουτέστι τῇ ΕΖ διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι τὸ ΕΗΖΘ· τετραπλασία ἄρα ἡ Β△ τῆς ΖΕ. Καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἐστὶν ἁ Β△ τᾶς ΒΣ, καὶ γὰρ τοῦτο δείκνυται |Δέδεικται γὰρ ἐν τῷ λήμματι ἡ Β△ ἑκατέρας τῶν BΗ, EΖ τετραπλασία ὥστε ἡ ΒΗ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτο ἐνταῦθα ἡ ΒΣ τῇ ΚΖ ἴση καὶ ἡ Β△ ἑκατέρας αὐτῶν τετραπλασία. Ἡ ΒΞ ἄρα τῆς Β△ τρίτον μέρος Επεὶ γὰρ τετραπλασίων ἡ Β△ τῆς ΒΣ, οἵων ἄρα ἡ Β△ τεσσάρων, ἡ ΒΣ ἑνός· καὶ οἵων ἄρα ἡ Β△ δώδεκα, τοιούτων ἡ ΒΣ τριῶν. Τριπλῆ δὲ ἡ ΒΣ τῆς ΣΞ· οἵων ἄρα ἡ ΒΣ τριῶν, ἡ ΞΣ ἑνός, καὶ ὅλῃ ἡ ΒΞ τεσσάρων. Τούτων δὲ ἦν ἡ Β△ δώδεκα ἡ ΒΞ ἄρα τῆς Β△ τρίτον μέρος ἐστί. Τριπλοῦν δὲ τὸ ΑΒΓ τρίχωνον τῶν τμαμάτων |Δέδεικται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ ἐν τῷ Περὶ τῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ὅτι πᾶν σχῆμα περιεχὸμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον ὥστε τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίτριτόν ἐστιν, καὶ διελόντι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμημάτων τριπλάσιόν ἐστιν. Καί ἐντι τᾶς Ε△ τριπλασία ἡ △Β· ἡμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς Θ△· ὅπερ ἔδει δεῖξαι |Ἐπεὶ γὰρ τριπλῆ ἐστιν ἡ Β△ τῆς △Ε, οἵων ἄρα ἡ Β△ δεκαπέντε, τοιούτων ἡ Ε△ πέντε. θἵων δὲ ἡ △Ε πέντε, τοιούτου ἡ ΘΕ ἑνὸς καὶ ὅλη ἡ ΘΕ△ ἕξ· ἑξαπλασία ἄρα ἡ △Θ τῆς ΘΕ. 0ἵων ἄρα ἡ Β△ δεκαπέντε, τοιούτων ἡ △Θ ἕξ, καὶ λοιπὴ ἡ ΘΒ ἐννέα ὥστε ἡμιολία ἐστὶν ἡ ΒΘ τῆς Θ△.