Εὐτοκίου εἰς τὸ β τῶν ἰσορροπικῶν Ἀρχιμήδους.

Τὸ ἔνατον θεώρημα πάνυ ὂν ἀσαφὲς ἐκθησόμεθα παραφράζοντες σαφῶς κατὰ τὸ δυνατόν. Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, △Β, ΒΕ, καὶ διελόντι καὶ ἐναλλὰξ αἱ ΑΓ, Γ△, △Ε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ, ΒΓ, Β△ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ αἱ ΑΓ, Γ△, △Ε, ἔστιν ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓ, Γ△, τουτέστιν ἡ Α△, πρὸς △Ε, οὕτως συναμφότερος ἡ ΑΒ, ΓΒ πρὸς △Β. Ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΑΒ, ΓΒ πρὸς △Β, οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς Β△, διότι τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὴν β τῆς △Β. Πάλιν, ἐπειδὴ αἱ ΓΒ, Β△, ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν καὶ αἱ ΑΓ, Γ△, △Ε, ἔστιν διὰ τὰ πρότερον εἰρημένα ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως συναμφότερος ἡ Γ△, Β△ πρὸς ΒΕ. Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε, ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς Β△· καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἄπαντα ὡς ἄρα ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως τὰ ἡγούμενα πρὸς τὰ ἑπόμενα. Ἔστιν δὲ ἡγούμενα μὲν ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ, Β△, τουτέστι δύο αἱ ΑΒ καὶ τρεῖς αἱ ΓΒ καὶ μία ἡ Β△, ἑπόμενα δὲ ἡ β τῆς Β△ καὶ ἡ ΒΕ μόνη· ἔστιν οὖν ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε, ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς △Β μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς δ τῆς ΓΒ καὶ τῆς δ τῆς △Β καὶ τῆς β τῆς ΒΕ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ μόνης, ἔξωθεν δέ ἐστιν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς △Β καὶ μόνης τῆς ΕΒ, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Β καὶ τῆς ΕΒ μόνης ἤπερ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς △Β πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς διπλῆς τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ, Ἀλλ᾿ ὡς ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ, οὕτως ἐδείχθη ἡ Α△ πρὸς △Ε καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Α△ πρὸς △Ε, Ἐὰν ἄρα θελήσωμεν ποιῆσαι τὸν αὐτὸν λόγον τῆς Α△ πρὸς ἄλλην τινά, ἐλάσσων ἔσται ἐκείνη τῆς △Ε. Ἔστω ἡ △Ο· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α△ πρὸς △0, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΤΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. Ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ο△ πρὸς △Α, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓB, Β△· καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΟΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ Ϛ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ ἥ τε γὰρ Β△ ἑξάκις παρελήφθη, τετράκις μὲν ἐν τοῖς προτέροις, δὶς δὲ ἐν τοῖς δευτέροις, καὶ ἡ ΒΕ τρὶς ἐλήφθη, δὶς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις, ἅπαξ δὲ ἐν τοῖς δευτέροις. Ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ Α△ πρὸς ΗΘ τοῦτον ἔχουσα τὸν λόχον, ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑB, ΒΕ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ ς΄ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ, καί ἐστι τεταραγμένη ἀναλογία · δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΗΘ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ι τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ τῆς ΓΒ, Β△. Τὸ γὰρ τῆς γεγραμμένης ἀναλογίας οὕτως ἔσται δῆλον· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΑ πρὸς ἑπόμενον τὴν Α△, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ Ϛ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ ναὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόπενον ἡ Α△ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΗΘ, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ Ἐπεὶ ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ πρὸς τὴν β τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο, ἔχει δὲ καὶ ἡ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν τῆς αὐτῆς λόγον ὃν πέντε πρὸς δύο, ἐπειδὴ καὶ τὰ πέντε πρὸς δύο καὶ τὰ δέκα πρὸς τέσσαρα λόχον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο, καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ, Β△ λόγον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο ὥστε καὶ ἡ ΑΟ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο. Πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ἐν τοῖς ἀνωτέρω ὅτι ἡ Ο△ πρὸς △Α τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΒ μετὰ τῆς β τῆς Β△ πρὸς τὴν ἴσην τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς AΒ, ΒΕ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△, ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡ Α△ πρὸς ἄλλο τι τὴν △Ε, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς △Β πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΕΒ καὶ τῆς β τῆς Β△, ἀνομοίως τῶν λόχων τεταμένων, τουτέστι τεταραγμὲνης οὔσης τῆς ἀναλογίας, διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ἡ Ο△ πρὸς △Ε, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ, Β△ ὥστε καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Ο, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς Β△, καὶ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΟ, τὸ ἡγούμενόν φημι πρὸς τὴν ὑπεροχήν, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς ΓΒ μόνης καὶ γ τῆς Β△ καὶ τῆς β τῆς EΒ. Εν μὲν γὰρ τῷ ἡγουμένῳ ἡ β τῆς ΑB καὶ τῆς ΒΕ, ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ β τῆς ΑΒ μόνης· ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ β τῆς ΕΒ· πάλιν ἐν μὲν τῷ ἡγουμένῳ ἡ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△, ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ γ τῆς ΓΒ καὶ ἡ Β△ μόνη ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ ΓΒ μόνη καὶ ἡ γ τῆς Β△. Καλῶς οὖν ἐλέχθη ὅτι ἐστὶν ἀναστρέψαντι ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΟ, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς △Β καὶ τῆς β τῆς ΕΒ· ὥστε καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΟΕ πρὸς Ε△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ μετὰ τῆς γ τῆς Β△ καὶ β τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△. Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ △Β πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕB, ἡ AΒ πρὸς ΒΓ, καὶ διελόντι ὡς ἡ πρὸς EΒ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν ὡς ἡ Γ△ πρὸς △Β, οὕτως ἡ △Ε πρὸς ΕΒ καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς Γ△ πρὸς τὴν γ τῆς △Β, οὕτως ἡ β τῆς △Ε πρὸς τὴν β τῆς ΕΒ τὰ γὰρ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. Καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ τῆς γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς Β△ καὶ τῆς β τῆς EΒ. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν △Ε, ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς Β△ καὶ β τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον ἡ △Ε πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕΒ, ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Γ△ καὶ γ τῆς △Β καὶ β τῆς ΒΕ, διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΟΕ πρὸς ΕΒ, ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς Ε△ καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△. Ἀλλὰ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ ἴση ἐστὶ τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς △Β ἥ τε γὰρ ΑΒ δὶς παρελήφθη αὐτόθεν καὶ προσλαβοῦσα τὴν ΑΓ καὶ ἐκ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ μίαν ποιεῖ τὴν γ τῆς ΑΒ πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ μιᾶς γίνεται γ, προσλαβοῦοα δὲ τὴν γ τῆς Γ△ καὶ γ τῆς △Β ποιεῖ τὴν ς΄ τῆς ΓΒ πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς τῆς △Β γ μένει μόνη ἡ △Β, προσλαβοῦσα δὲ τήν τε β τῆς καὶ τὴν β τῆς ΕΒ ποιεῖ τὴν γ τῆς Β△. Καλῶς οὖν λέγει ὅτι ἡ ΟΒ πρὸς ΕΒ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς △Β πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△. Πάλιν, ἐπεὶ αἱ Ε△, △Γ, ΓΑ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ διὰ τὸ ἀνάπαλιν τῆς ὑποθέσεως συναμφότερος ἑκάστη τῶν ΕΒ, Β△, △Β, ΒΓ, ΒΓ, ΒΑ, ἔσται ὡς ἡ Ε△ πρὸς τὴν μέσην καὶ τὴν ἑπομένην τὰς △Γ, ΓΑ, τουτέστι τὴν △Α, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ, Β△ πρὸς συναμφότερον τὴν △Β, ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς Γ△, ΒΑ καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς Α△, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ△ μετὰ συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ καὶ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ πρὸς συναμφότερον τὴν △ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ. Ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΕΒ△ μετὰ τῆς △ΒΓ καὶ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΑ καὶ δὶς συναμφοτέρῳ τῇ △ΒΓ ἅπαξ γὰρ αἱ ἄκραι παραλαμζάνονται καὶ δὶς αἱ μέσαι συναμφότερος δὲ ἡ △ΒΓ μετὰ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ△ καὶ δὶς τῇ ΒΓ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΕΒΑ καὶ β συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς △ΒΑ καὶ τῆς β τῆς ΓΒ. Ὥστε καὶ ἡ διπλασία πρὸς τὴν διπλασίαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἄρα ἡ ΕΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΕΒΑ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ. Ὥστε καὶ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς Α△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς AΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓB. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς Α△, οὕτως ἐλήφθη ἡ ΒΕ πρὸς ΖΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ EΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ABE καὶ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς AB△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ. Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ὡς ἡγούμενον ἡ ΟΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΒΕ, οὕτως ἡγούμενον ἡ γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ μετὰ τῆς ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△, ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ ΕΒ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΖΗ, οὕτως ἑπόμενον ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ ἡ △Ζ συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τοῦ ἑπομένου, τουτέστι τῆς συηκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ, τεταγμένης οὖν οὔσης τῆς ἀναλογίας διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ. Η δὲ συγκειμένη ἐκ τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς δύο, πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο τὰ δὲ ἑξαπλάσια τῶν αὐτῶν τῶν τετραπλασίων ἡμιόλιά ἐστιν πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο, Ἐπειδὴ γὰρ τὰ ἡγούμενα τῶν ἑπομένων ἡμιόλια, καὶ λόγον ἔχει πρὸς αὐτά, ὃν τρία πρὸς δύο ἔχει ἄρα καὶ ὃν τεσσαράκοντα πέντε πρὸς τριάκοντα ἑκάτερον γὰρ ἑκατέρου ἐστὶ πεντεκαιδεκαπλάσιον. Καί ἐστι τὰ τρία πέμπτα τῶν τριάκοντα δεκαοκτώ ἔχει ἄρα τεσσαράκοντα πέντε πρὸς δεκαοκτὼ λόγον, ὃν πέντε πρὸς δύο τὰ γὰρ πέντε καὶ τὰ δύο ἀμφοτέρων εἰσὶν ἔννατα. Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἡ μὲν ΟΑ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχουσα, ὃν πέντε πρὸς δύο, ἡ δὲ ΟΒ πρὸς ΖΗ τὸν αὐτὸν λόγον, δύο πεμπτημόριά ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ ὅλης τῆς ΑΒ.