Εὐτοκίου εἰς τὸ β τῶν ἰσορροπικῶν Ἀρχιμήδους.

Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ τοῦ Α△ΕΓ τόμου διάμετρός ἐστιν ἡ ΖΗ |Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται ἡ ΖΒ διάμετρος τοῦ τμήματος καὶ αἱ ΑΓ, △Ε διχοτομούμεναι ὑπʼ αὐτῆς κατὰ τὰ Ζ, Η, παράλληλοί εἰσιν τῇ κατὰ τὸ Β ἐφαπτομένῃ τῆς τομῆς. Καὶ δῆλον ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ὁμοίως αὐταῖς ἀχόμεναι παράλληλοι εἴτε μεταξὺ αὐτῶν εἴτε καὶ μεταξὺ τῆς △Ε καὶ τῆς Β κορυφῆς δίχα τμηθήσονται ὑπὸ τῆς ΒΖ, καὶ διὰ τοῦτό φησι διάμετρον εἶναι τοῦ τόμου τὴν ΖΗ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΖΑ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον, οὕτως τὸ ΑΒΓ τμᾶμα πρὸς τὸ △ΕΒ τμᾶμα |Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ὑπʼ αὐτοῦ ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶν ἐπίτριτον καὶ τὸ △ΕΒ τμῆμα τοῦ △ΕΒ τριγώνου, ἔστιν ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ △ΕΒ τμῆμα πρὸς τὸ △ΕΒ τρίγωνον καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον ὥστε καὶ τὰ ἡμίση αὐτῶν, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ △ΕΒ τμῆμα, οὕτως τὸ ΑΖΒ τρίγωνον πρὸς τὸ △ΗΒ τρίγωνον. καὶ ἐὰν ἀναγράψωμεν τὰ παραλληλόχραμμα τὰ διπλάσια τῶν τριγώνων, ἔσται ἰσογώνια διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς △Η, AΖ ὥστε καὶ λόγον ἕξει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν τῆς ΑΖ πρὸς △Η καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ. Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος ἐστὶ τῶν τε τριγώνων καὶ τῶν τμημάτων τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς △Η καὶ τοῦ τῆς ΖB πρὸς BΗ. Ὁ δὲ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ AΖ πρὸς τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον ὁ ἄρα τοῦ τμήματος πρὸς τὸ τμῆμα λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ AΖ πρὸς τὸ ἀπὸ △Η· τετράγωνον καὶ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς △Η. Σύγκειται δὲ καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ AΖ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν, ὡς δέδεικται ἐν τοῖς σχολίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἔστιν ἄρα ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, οὕτως ὁ ἀπὸ AΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον. Καὶ ἐπεὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ πρὸς τὸν ἀπὸ ΑΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν ἡ β τῆς △Η μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΖA Ἐπὶ γὰρ τῶν αὐτῶν βάσεων ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ὕψη. Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ △Η πρὸς ΑΖ, ἡ ΞΝ πρὸς M, καὶ ὡς ἡ β τῆς △Η πρὸς ΑΖ, ἡ β τῆς ΕΝ πρὸς ΝΜ· καὶ συνθέντι ὡς ἡ β τῆς ΝΞ μετὰ τῆς ΝΜ πρὸς ΝΜ, ἡ β τῆς △Η μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον, οὕτως ὅ τε ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον καὶ ἡ ΜΝ πρὸς ΝΤ · αἱ γὰρ ΜΝ, ΝΞ, ΝΟ, ΝΤ τέσσαρές εἰσιν ἀνάλογον, καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον. Ὡς δὲ ὁ ἀπὸ △Η κύβος πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην εὐθεῖαν ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η, οὕτως ἡ △Η πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η |Πάλιν γὰρ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ὕψη. Ὡς δὲ ἡ △Η πρὸς τὴν β τῆς ΑΖ μετὰ τῆς △Η, οὕτως ἡ ΤΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΤΝ · ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς △Η, ἡ ΜΝ πρὸς ΝΞ καὶ ἡ ΟΝ πρὸς ΝΤ · καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ △Η πρὸς ΑΖ, ἡ ΤΝ πρὸς ΝΟ, καὶ ὡς ἡ △Η μετὰ τῆς △τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΤΝ μετὰ τῆς β τῆς ΝΟ πρὸς NO. Γέγονεν οὖν τέσσαρα μεγέθη ἑξῆς ἀλλήλων κείμενα, πρῶτον μὲν τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ, καὶ δεύτερον ὁ ἀπὸ τῆς ΑΖ κύβος καὶ τρίτον ὁ ἀπὸ τῆς △Η κύβος καὶ τέταρτον τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς △Η τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η, καὶ ἄλλαι τινὲς εὐθεῖαι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ σύνδυο λαμβανόμεναι, ἥ τε συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΝΞ καὶ μόνης τῆς ΜΝ καὶ δευτέρα ἡ MΝ καὶ τρίτη ἡ ΝT καὶ τετάρτη ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΝΤ δι᾿ ἴσου ἄρα γενήσεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ μόνης, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ μόνης τῆς γωνον,Η, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς MΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Ν0 καὶ μόνης τῆς ΝT. Ἀλλ᾿ ὡς τὰ εἰρημένα στερεὰ πρὸς ἄλληλα, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΙ πρὸς lΚ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΙ πρὸς ΙΚ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς ΝΜ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΘΚ πρὸς ΚΙ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ε, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΚΙ, οὕτως ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Ν0 καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ οὖσαν αὐτῆς δύο πέμπτα ἑκατέρα γὰρ τῶν ΗΘ, ΖΚ δύο πεμπτημόριά ἐστι τῆς ΗΖ, ἐπειδὴ τὸ μέσον πεμπτημόριον ἡ ΘΚ ὑπόκειται οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ· καὶ γὰρ τὰ β τῶν ε καὶ τὰ △Ζ τῶν ι δύο πεμπτημόριά ἐστιν. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΙΚ, οὕτως ἡ ε τῆς ΜΝT καὶ ι τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β τῆς Ν0 καὶ μόνην τὴν ΝT, πάλιν δὲ ἐδείχθη ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ, ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν β τῆς ΜΝT καὶ △Ζ τῆς ΞΝΟ, ἔσται ὡς ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα, οὕτως ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΙ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΜΝT ναὶ △Ζ τῆς ΞΝΟ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ συγκειένῃ ἐκ τῆς β τῆς ΜΝ καὶ △Ζ τῆς ΝΞ καὶ τῆς ΝΟ καὶ τῆς ΝT· οὕτως γὰρ εἴληπται καὶ ἀνωτέρω. Ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΝΞ, ΟΝT, καὶ ἐστὶν ὡς μὲν ἡ ΝT πρὸς TM, οὕτως εἰλημμένη τις ἡ ΡΙ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστι πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ, τουτέστι τῆς M0, καὶ δεδειγμέναι εἰσὶν αἱ ἐν τῷ ῥητῷ ἀναλογίαι, ἔσται διὰ τὸ προειρημένον ἡ ΡΖ δύο πέμπτα τῆς MΝ, τουτέστι τῆς ΖB τρία ἄρα πέμπτα ἐστὶν ἡ ΒΡ τῆς ΒΖ. Ἡ ΒΡ ἄρα πρὸς ΡΖ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς δύο ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος τὸ Ρ σημεῖον. Ἐὰν δὴ λάβωμεν τὸ τοῦ △ΒΕ τμήματος τὸ X, τρία πέμπτα ἔσται ἡ ΒX τῆς ΒΗ. Γέγονεν οὖν ὡς ὅλη ἡ ΖB πρὸς ὅλην τὴν ΒΡ, οὕτως ἀφαιρεθεῖσα ἡ ΒΗ πρὸς ἀφαιρεθεῖσαν τὴν ΒΧ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν πρὸς ἑκατέραν λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς τρία καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς λοιπὴν τὴν ΧΡ λόγον ἕξει, ὃν πέντε πρὸς τρία. Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ὁ Α△ΕΓ τομεὺς πρὸς τὸ △ΒΕ τμῆμα, οὕτως ἡ ΜT πρὸς ΤΝ, ὡς δὲ ἡ MT πρὸς TΝ, οὕτως τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ ἤτοι ἡ ΧΡ πρὸς PΙ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ τομεὺς πρὸς τὸ τμῆμα, ἡ ΧΡ πρὸς ΡΙ. Καὶ ἀντιπεπόνθασιν ὅπερ τὸ Ρ κέντρον τοῦ ὅλου τμήματος τοῦ ἄρα τόμου κέντρον ἐστὶ τὸ Ι.