ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Γ

ι. |Ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθμοῖς διαιρεῖσθαι, προγέγραπται· ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι, δι᾿ ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται, ταῦτα γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα. Ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβληθείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠διαγαγεῖν τὴν ∠Ε διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ δοθέντι. γεγονέτω· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον, συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ . καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ∠. εἰς δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ, ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠διῆκταί τις εὐθεῖα χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν· δοθέντα ἄρα τὰ Ε, Ζ σημεῖα. τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς δέδεικται. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον. κἂν τὸ ∠σημεῖον μὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ, ἀλλʼ ὡς ἔτυχεν, οὐδὲν διοίσει.