ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α

ια. |Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ∠ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α∠ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΕ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν, ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονάδων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ, Γ∠ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΚΗΛ, ΜΘΝ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγωνον τῷ ΒΗΛ, τὸ δὲ ∠ΜΘ τῷ ΓΝΘ ὥστε κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘ∠ ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ∠Μ τῇ ΓΝ, αἱ ἄρα ΑΚ ∠Μ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προστεθεισῶν τῶν Α∠ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ, τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση. καὶ ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ· ἐστι γὰρ μονάδων κβ· ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ· αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ μονάδων ια. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ· ἴση γάρ ἐστι τῇ Α Ζ· τὸ ἄρα ΚΛΝΜ παραλληλόγραμμον ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ τραπέζιον μονάδων ρλβ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ· γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται κε· καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ· ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· σύνθες τὰ ιϛ καὶ τὰ ϛ· γί|νονται κβ· ὧν ἥμισυ· γίγνονται ια· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίγνεται ρλβ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.