ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Γ

κβ. |Ἔστω δὴ δοθεὶς κόλουρος κῶνος, ὃν δεῖ διελεῖν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ ὁ ∠Ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν αὐτὸν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα τετραπλάσιον εἶναι τοῦ καταλειπομένου· δεδόσθω δʼ ἡ μὲν τοῦ ΑΒ κύκλου διάμετρος μονάδων κη, ἡ δὲ τοῦ ΑΕ μονάδων κα, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ιβ· καὶ διῃρήσθω, ὡς εἴρηται, τῷ ΖΗ κύκλῳ, ὥστε τὸν ∠ΕΖΗ κῶνον κόλουρον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ ΖΗΑΒ κολούρου κώνου· ὁ ἄρα ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος πρὸς τὸν ∠ΕΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ. καὶ ἔστιν ὁ ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος δοθείς· αἱ γὰρ διάμετροι τῶν βάσεων αὐτοῦ δοθεῖσαί εἰσιν καὶ ἔτι τὸ ὕψος δοθέν· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ∠ΕΖΗ κωνοκόλουρος. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ∠Θ καὶ προσηυξήσθω ὁ κῶνος. καὶ ἔστω αὐτοῦ κορυφὴ τὸ Γ, ἄξων δὲ ὁ Γ∠. ἐπεὶ ἡ ∠Ε ἔστι δοθεῖσα, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Λ, τουτέστιν ἡ ΚΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Κ δοθεῖσά ἐστιν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστιν· λόγος ἄρα τῆς Κ∠ πρὸς ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΚ πρὸς ∠Θ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ∠Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΚ· ὧν ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστιν· ἴση γάρ ἐστι τῇ ∠Θ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠Ε κῶνος κ ΖΗ· καὶ ἔτι ὁ ΓΒΑ· λόγος ἄρα τῶν ΓΑΒ, ∠ΕΓ κώνων πρὸς τὸν ΓΗΖ κῶνον. |ὡς δὲ οἱ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω καὶ οἱ απὸ τῶν ΓΚΛ κύβοι πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΓΜ κύβον. δοθέντες δὲ οἱ ἀπὸ τῶν ΚΓΛ κύβοι· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΓΜ κύβος· δοθεῖοα ἄρα ἡ ΓΜ· ὥστε καὶ ἡ ΛΜ· λόγος ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστι τῆς Α∠ πρὸς ΑΖ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Α∠, ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· ὥστε καὶ ἡ διʼ αὐτοῦ τομὴ, τουτέστιν ὁ ΖΗ κύκλος. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· λαβὲ τὸ στερεὸν τοῦ κολουροκώνου, ὡς ἐμάθομεν. γίνεται εχ𝔮η. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ· γίγνεται μ βψ 𝔮β. παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται δφνη β· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ∠ΕΖΗ κολουροκώνου. καὶ ἀπὸ τῶν κη ἄφελε κα· λοιπὰ ζ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται γU+2220· καὶ τῶν κη τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιδ· καὶ ποίησον ὡς τὰ γU+2220· πρὸς τὰ ιδ, οὕτως τὸ ὕψος, τουτέστι τὰ ιβ, πρὸς ἄλλον τινά· ἔστι δὲ πρὸς μη. ἄφελε τὰ ιβ· λοιπὰ λϛ· ἔσται ὁ ἄξων τοῦ Γ∠Ε κώνου μονάδων λϛ. καὶ ἔστιν ἡ ∠Ε διάμετρος μονάδων κα· τὸ ἄρα στερεὸν τοῦ κώνου, ὡς ἐμάθομεν, ἔσται δρνη· πρόσθες ταῦτα ἑκατέρῳ τῷ τε εχ𝔮η καὶ τῷ δφνη β· γίγνεται θωνϛ· καὶ τὰ δρνη· γίγνεται μ διδ· σύνθες τὰ δφνη β καὶ τὰ δρνη· γίγνεται μ διδ. καὶ κύβισον τὸν μη· καὶ ἔτι τὸν λϛ· καὶ σύνθες τοὺς β κύβους· γίνονται μ ξσμη. ποίησον οὖν ὡς τὰ μ διδ πρὸς τὸ ηψιϛ β, οὕτως μ ζσμη πρός τι· ἔστι δὲ πρὸς μ ζν. τούτων λαβὲ κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα· γίγνονται μϛ. ἄφελε τὰς λϛ· λοιπαὶ μονάδες ι· καὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους ἐφʼ ἑαυτά· γίνεται ρμδ· καὶ τὰ γU+2220 ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ιβ δ΄. σύνθες· γίγνονται ρνϛ δʹ· ὧν πλευρὰ γίγνεται ιβU+2220· ἡ τοῦ κωνοκολούρου πλευρὰ ἡ ∠Α ιβU+2220· καὶ ποίησον ὡς τὰ ιβ τοῦ ὕψους πρὸς τὰ ι, οὕτως τὰ ιβU+2220 πρὸς τί· |ἔστι δὲ πρὸς ι ε. καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τετμήσθω ὁ κῶνος, ὡς εἴρηται. καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.