ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Γ

δ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει, ὥστε τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΓΕΖ ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. ἐὰν δὴ τμηθῶσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τοῖς ∠,Ζ, Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ, ἔσται τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ, ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ, οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΑΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΖ, οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ, ὅ ἐστι δοθέν. δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ, ὅ ἐστι δοθὲν. καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ, τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ δι |πλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ∠δοθέν ἐστι· θέσει ἄρα αἱ ∠Ε ΕΖ Ζ∠. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΓΑ μονάδων ιε. ἔστω δὲ καὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μονάδων πδ. λοιπὰ ἄρα τὰ Α∠Ε ∠ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ. πολλαπλασίασον τὰ πδ ἐπὶ τὰ κ· γίνεται αχπ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται ϛψκ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ· μέρισον τὰ ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ· γίγνεται μϛ· καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ ΖΓ μονάδων εU+2220. καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται μονάδων ε κε. πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιγ πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ. γίγνεται ἡ Β∠ μονάδων ε καὶ γ.