Section 27

Ἐπεὶ δὲ τοῦ πεπαιδευμένου ἔργον ἐστὶ τὸ δύνασθαι κρῖναι εὐστόχως τί καλῶς ἢ μὴ καλῶς ἀποδίδωσιν ὁ λέγων, τοιοῦτον δή τινα τὸν ὅλως πεπαιδευμένον οἰόμεθα εἶναι, καὶ τὸ πεπαιδεῦσθαι τὸ δύνασθαι ποιεῖν τὸ εἰρημένον. δῆλον δὴ τοῦθ’ ὅτι καὶ περὶ τὰ μαθήματα τὸν ὀρθῶς πεπαιδευμένον ἀπαιτεῖν δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὴν ὀρθότητα καὶ τὸ οἰκεῖον ἔργον, εἰ καλῶς ἢ μὴ καλῶς ποιεῖται τὴν περὶ αὐτῶν θεωρίαν. ὥσπερ γὰρ τὸν ἁπλῶς πεπαιδευμένον περὶ πάντων ὡς εἰπεῖν κριτικὸν νομίζομεν εἶναι ἕνα τὸν ἀριθμὸν ὄντα, οὕτως καὶ περί τινος ἐπιστήμης ἀφωρισμένης εἴη ἄν τις ἕτερος τὸν αὐτὸν τρόπον τῷ εἰρημένῳ διακείμενος περὶ μόριον. ὥστε δῆλον ὅτι καὶ τῆς περὶ τὰ μαθήματα θεωρίας δεῖ τινας ὑπάρχειν ὅρους τοιούτους, πρὸς οὓς ἀναφέρων ἀποδέξεται ὁ πεπαιδευμένος τὸν τρόπον τῶν δεικνυμένων, χωρὶς τοῦ πῶς ἔχειν τἀληθές, εἴτε οὕτως εἴτε ἄλλως. λέγω δὲ οἷον πότερον δεῖ λαμβάνοντας ἓν ἕκαστον θεώρημα τῶν μαθηματικῶν περὶ τούτου διορίζειν καθ’ αὑτό, οἷον περὶ τῶνδε τῶν τριγώνων, ἢ τὰ κοινὰ θεωρήματα καὶ τὰ πᾶσιν ὑπάρχοντα δεῖ σκοπεῖν κατά τι κοινὸν ὑποθεμένους. πολλὰ γὰρ ὑπάρχει τὰ αὐτὰ πολλοῖς γένεσιν ἑτέροις οὖσιν ἀλλήλων, οἷον εἴ τις καθόσον ἐστὶ τρίγωνα ποιοῖτο τὴν ἀπόδειξιν, ἢ καθόσον ἐστὶν εὐθύγραμμα κοινῶς. εἰ γάρ τινα τὰ αὐτὰ ὑπάρχοι τοῖς εἴδει διαφέρουσιν, οὐδ’ ἡ ἀπόδειξις αὐτῶν οὐδεμίαν ὀφείλει ἔχειν διαφοράν. ἕτερα δὲ ἴσως ἐστίν, οἷς συμβαίνει τὴν μὲν κατηγορίαν ἔχειν τὴν αὐτήν, διαφέρειν δὲ τῇ κατ’ εἶδος διαφορᾷ· οἷον τὸ ὅμοιον ἐπὶ μὲν τριγώνων ἐστὶν ἄλλο, ἐπ’ ἀριθμῶν δὲ ἕτερον. καὶ δεῖ καθ’ ἑκάτερον ἰδίας ποιεῖσθαι ἀποδείξεις. ἐπισκεπτέον οὖν, πότε κοινῶς κατὰ γένος καὶ πότε ἰδίως καθ’ ἕκαστον θεωρητέον· τὸ γὰρ διωρίσθαι περὶ τούτων μέγα μέρος εἰς παιδείαν μαθηματικὴν συμβάλλεται. ἔτι κατὰ τὴν ὑποκειμένην οὐσίαν δεῖ τοὺς λόγους ἀπαιτεῖν τὸν μαθηματικόν, καὶ τὸν τρόπον τῶν ἀποδείξεων οἰκεῖον ποιεῖσθαι. ὥσπερ οὖν τοῦ ῥητορικοῦ πιθανολογοῦντος ἀνεχόμεθα, οὕτω τὸν μαθηματικὸν ἀποδείξεις δεῖ ἀπαιτεῖν ἀναγκαίας. οὐ πανταχοῦ δὲ τὰς αὐτὰς ἀνάγκας δεῖ ζητεῖν οὐδ’ ὁμοίως τὴν αὐτὴν ἀκρίβειαν ἐν ἅπασιν, ἀλλ’ ὥσπερ τὰ κατὰ τὰς τέχνας ταῖς ὑποκειμέναις ὕλαις διαιροῦμεν, οὐχ ὁμοίως ἐν χρυσῷ καὶ καττιτέρῳ καὶ χαλκῷ ζητοῦντες τὸ ἀκριβές, οὐδὲ ἐν φελλῷ καὶ πύξῳ καὶ λωτῷ, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐν ταῖς θεωρητικαῖς. εὐθὺς γὰρ ποιήσει τὰ ὑποκείμενα διαφοράς, ὅταν 〈τὰ μὲν〉 ἁπλούστερα ᾖ τὰ δὲ ἐν συνθέσει μᾶλλον, καὶ τὰ μὲν ὅλως ἀκίνητα τὰ δὲ κινούμενα, οἷον τὰ ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἐν ἁρμονίᾳ ἢ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ καὶ ἀστρονομίᾳ, καὶ τῶν μὲν ὁ νοῦς ἡ ἀρχὴ τῶν δὲ ἡ διάνοια, ἐνίων δὲ καὶ ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως μικραί τινες ἂν ὦσιν ἀφορμαί, καθάπερ τῶν οὐρανίων. οὐ γὰρ οἷόν τε τὰς αὐτὰς οὐδὲ τὰς ὁμοίας αἰτίας περὶ τῶν τοιούτων φέρειν, ἀλλ’ ὅσον αἱ ἀρχαὶ διαφέρουσι, τοσοῦτον καὶ τὰς ἀποδείξεις διαφέρειν· ἐν ἑκάσταις γὰρ συγγενὴς ὁ τρόπος. ἔτι δ’ ἐν μείζονι διαστάσει τούτων, ὅτι ἐπιζητοῦσιν οἱ μὲν ἔχοντες οἱ δὲ οὐκ ἔχοντες ἀρχάς· ὥστε οὐδ’ ἐνταῦθα ὁμοίας αἰτίας οὐδ’ ὁμοίους τοὺς λόγους ἀποδεικτέον. ἀνάγκη δὲ πρὸς ταῦτα γνωρίζειν τί ταὐτὸ καὶ ἕτερον ἔχουσι καὶ τί κατ’ ἀναλογίαν ταὐτόν, καὶ αἱ ποῖαι πλειόνων δέονται καὶ κατὰ ποίας πλείω τὰ ἀπορούμενα· σχεδὸν γὰρ τούτοις καὶ τοῖς τοιούτοις αἱ παραλλαγαὶ τῶν περὶ ἕκαστον ἀποδείξεων καὶ λόγων εἰσίν. οὐ μόνον δὲ πρὸς τὸ κρίνειν, ἀλλὰ καὶ πρὸς τὸ ζητεῖν ὡς δεῖ, συμβάλοιτ’ ἂν ἡ τοιαύτη θεωρία· διορισμὸν γὰρ ἔχουσα τῆς καθ’ ἕκαστον αἰτίας, οἰκείους ποιήσει λόγους, ὅπερ οὐ ῥᾴδιον μὴ συνεθισθέντα δρᾶν. ἡ γὰρ φύσις αὐτὴ καθ’ ἑαυτὴν ἐπὶ μὲν τὰς ἀρχὰς ὑφηγήσασθαι δύναται, κρῖναι δὲ ἕκαστα μὴ προσλαβοῦσα σύνεσιν ἑτέραν οὐκ αὐτάρκης. ἔτι διακριτέον εἰ πλείους αἰτίαι εἰσὶ περὶ ὧν δεῖ τὸν μαθηματικὸν λέγειν, ποία τε τούτων πρώτη καὶ δευτέρα πέφυκεν. ἐξεταστικὸς γὰρ καὶ τῶν ἀποδιδομένων αἰτίων ὁ πεπαιδευμένος μαθηματικῶς, καὶ τῆς τάξεως αὐτῶν θεωρητικός. Οὐ δεῖ δὲ λανθάνειν κἀκεῖνο, ὅτι πολλοὶ τῶν νεωτέρων Πυθαγορικῶν μόνα τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα τὰ ὑποκείμενα τοῖς μαθήμασιν ὑπελάμβανον, καὶ μόνας ταύτας ἀρχὰς ὑπετίθεντο· καὶ τὰς ἐπιστήμας οὖν κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον περὶ τῶν τοιούτων ἀφωρίζοντο καὶ τὰς ἀποδείξεις. ἐπεὶ δὲ ἡμεῖς ἔν τε τοῖς προάγουσι νυνὶ λόγοις καὶ ἐν τοῖς ὕστερον ῥηθησομένοις ἀποδείξομεν, ὅτι πολλαὶ οὐσίαι καὶ ἕτεραι ἀκίνητοι καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἔχουσαι, οὐ μόναι αἱ τῶν μαθημάτων, καὶ ὅτι πρεσβύτεραι καὶ τιμιώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, ἀποδείξομεν δὲ καὶ ὅτι οὐ μόνον ἀρχαί εἰσιν αὗται αἱ μαθηματικαί, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι, καὶ αἵ γε πρεσβύτεραι καὶ δυνατώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, καὶ ὅτι οὐ πάντων τῶν ὄντων εἰσὶν ἀρχαὶ αἱ μαθηματικαὶ ἀλλὰ τινῶν· διὰ δὴ ταῦτα διορισμὸν ἀπαιτεῖ νυνὶ ἡ μαθηματικὴ ἀπόδειξις, τῶν ποίων τινῶν κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων ἐστὶν ἀποδεικτική, καὶ ἐκ ποίων τινῶν ἀρχῶν συλλογίζεται, καὶ περὶ ποίων τινῶν προβλημάτων ποιεῖται τὰς ἀποδείξεις. ἡ γὰρ περὶ τούτων ἐπικρίνουσα παιδεία τήν τε ὀρθότητα καὶ τὸ τέλος ἀφορίζεται τῆς μαθηματικῆς, τήν τε ἐπίκρισιν αὐτῆς ποιεῖται δεόντως, καὶ τὸν τρόπον πῶς δεῖ ποιεἶσθαι τὰς ζητήσεις καλῶς περιλαμβάνει. ὥστε καὶ περὶ τούτων ἡμῖν ταυτὶ διωρίσθω.