Section 3

Κοινῶς δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀφορισώμεθα τίνες τῆς μαθηματικῆς οὐσίας εἰσὶν ἀρχαί· ἐπειδὴ γὰρ πᾶσα ἐπιστήμη παραγίνεται διὰ τῶν οἰκείων ἀρχῶν, καὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ἀρίστη ἂν γένοιτο ἡ ἐντεῦθεν ὁρμωμένη εἴδησις. ὅτι μὲν οὖν τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον ἀρχαί εἰσι πάντων τῶν μαθημάτων καὶ πάσης μαθηματικῆς οὐσίας, παντὶ δῆλον, ὡς δοκεῖ τοῖς Πυθαγορείοις· ἀλλὰ τούτων ἑκάτερον οὐχ ἕνα λόγον οὐδ’ ἐπὶ πάσης οὐσίας τὸν αὐτόν, ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν νοητῶν εἰδῶν καὶ τῶν ἀύλων λόγων ἄλλαι εἰσὶν αἱ τοιαῦται ἀρχαί, νοηταί τε πάντῃ καὶ ἄυλοι καὶ καθ’ ἑαυτὰς οὖσαι ἀμέριστοι, ἐπὶ δὲ τῶν μαθημάτων πλήθους καὶ μεγέθους, διαιρέσεώς τε καὶ διαστάσεως ἔσονται αἰτίαι, μεριστῆς τε φύσεως μεθέξουσι καὶ οἰκεῖα γένη λήψονται τὰ προσήκοντα τοῖς ὅλοις μαθήμασι, συνθέσεώς τε μεταλήψονται καὶ κριθήσονται διανοήσει ἑτέρᾳ οὔσῃ παρὰ τὴν κρίνουσαν δύναμιν τὰς ἁπλᾶς καὶ ἀμερίστους καὶ νοερὰς οὐσίας. κίνησιν δὲ ταῖς ἀρχαῖς ταύταις τῶν μαθημάτων ἔνιοι μὲν ἴσως δώσουσιν, ὅσοι ἐν τῇ ψυχῇ καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ζωαῖς καὶ δυνάμεσι τὰς ἀρχὰς ταύτας ὑποτίθενται, βέλτιον δὲ τὴν μὲν ψυχὴν ἐν ἑτέρῳ γένει τῆς οὐσίας τιθέναι, τὰς δὲ μαθηματικὰς ἀρχὰς καὶ τὴν μαθηματικὴν οὐσίαν ἀκινήτους ὑπολαμβάνειν· ἕστηκέ τε γὰρ αὐτῶν ἀεὶ τὰ εἴδη καὶ ὡσαύτως αὐτὰ θεωροῦμεν καὶ κατὰ τὰ αὐτά. μέσαι δή τινες οὖν εἰσιν αὗται αἱ ἀρχαὶ τοῦ τε ἀπείρου καὶ τοῦ πέρατος, κρατούσης ἀεὶ τῆς τοῦ πέρατος ἰδέας τοῦ ἀπείρου καὶ περιοριζούσης αὐτὴν ἐν ἑαυτῇ· διὸ καὶ πρόεισι μὲν ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀεί, ὁρίζεται δὲ ὑπὸ τοῦ περαίνοντος. τῶν μὲν οὖν ἐν τῷ νῷ ὑπαρχόντων διαφέρουσιν αἵδε αἱ ἀρχαὶ τῷ διαιρέσεως καὶ πλήθους καὶ μεγέθους καὶ συνθέσεως ἐνδιδόναι τὴν αἰτίαν ἀφ’ ἑαυτῶν, τῶν δὲ τῆς φύσεως καὶ τῶν τῆς ψυχῆς λόγων χωρίζονται τῷ τε ἀκίνητοι εἶναι καὶ διότι τῶν μεταξὺ τεταγμένων μέσων ἀσωμάτων καθ’ ἑαυτὰς ὑπάρχουσι κεχωρισμέναι τῆς ὕλης, αἱ δὲ καὶ τῆς ὕλης ἐφάπτονται. ὅτι μὲν οὖν διαφέρουσι τῶν ἄλλων αἰτίων, ἐκ τούτων ἄν τις πεισθείη. τὴν δὲ κοινότητα αὐτῶν τὴν ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ἀπό τε τῆς μεσότητος τῆς ἁπλῶς οὕτω νοουμένης ὑποληπτέον, καὶ ἀπὸ τῆς ὑποδεεστέρας φύσεως τῶν ἀμερίστων καὶ νοητῶν εἰδῶν, πρεσβυτέρας δὲ τῶν περὶ τὰ σώματα μεριστῶν. καὶ εἰ λόγους δέ τις λαμβάνοι, κατὰ ταύτην τὴν κοινότητα αὐτῶν ἐν τοῖς λόγοις θεωρητέον. καὶ τὴν ἀοριστίαν δὲ ὡσαύτως κοινῶς ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ὑποθετέον. εἴ τέ τινες ὑποδοχαὶ νοοῦνται τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν, κοινὰς ταύτας ἀπολιπεῖν ἄξιον πάσης τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρουμένης πολυειδοῦς συστάσεως· οὕτω γὰρ ἄν τις τὴν κοινότητα αὐτῶν κατανοήσειε, δύσληπτον μὲν οὖσαν νοῆσαι ὥστε αὐτὴν ἑνὶ λογισμῷ περιλαβεῖν, διὰ τὸ ἐν πολλοῖς καὶ διαφέρουσιν ἐνυπάρχειν, μόλις δ’ ἂν οὕτως ἐπινοηθῆναι δυναμένην. τοσαῦτα μὲν οὖν καὶ περὶ τῶν κοινῶν ἡμῖν διωρίσθω.