Section 5

Τά γε μὴν ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ, τὰ κοινῇ ἐπὶ πᾶσαν διατείνοντα τὴν ἐπιστήμην ταύτην, ἐκεῖνά ἐστιν ὅσα κοινά ἐστι θεωρήματα, δυνάμενα μὲν ἐπὶ ἀριθμῶν, δυνάμενα δὲ καὶ ἐπὶ μεγεθῶν ἐφαρμόζειν, ἔτι δὲ καὶ ἁρμονιῶν καὶ ἀστρονομίας καὶ πάντων τῶν ἄλλων. ἔστι δὲ τοιαῦτα 〈τὰ〉 τῶν ἀναλογιῶν καὶ τὰ περὶ τὰς κοινῶς συνθέσεις καὶ διαιρέσεις, καὶ ὅσα περὶ τὸ ἴσον καὶ ἄνισον θεωρεῖται τὸ ὁπωσοῦν ἔχον ἢ τὸ ὁποιονοῦν, καὶ ὅσα τὸ πολλαπλάσιον ἢ τὸ μεριστὸν ἐπισκοπεῖται, ἢ τὸ ὑπερέχον καὶ ἐλλεῖπον, ἢ τὸ διωρισμένον καὶ ἀδιόριστον κατὰ κοινὴν ἐπιβολήν, ἢ τὸ καθ’ αὑτὸ καὶ τὸ πρός τι, ἢ τὸ ποσὸν ἁπλῶς, μηδὲν προσλαμβάνον τὸ τοιόνδε εἶδος τοῦ ποσοῦ ποσὸν τὴν τάξιν καὶ τὸ καλὸν τὸ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσιν ᾗ ἐστιν ἐπιστημονικὰ θεωρεῖ, μηδὲν προσδιορίζον τὸ τοιόνδε κάλλος (ἤδη γὰρ τὸ τοιοῦτον τῶν ἐν μέρει ἐπιστημῶν ἐφάπτεται)· καὶ ὅσον δὲ αὖ τὸ ἀραρὸς καὶ βέβαιον τῆς ἐπιστήμης τῆς μαθηματικῆς σκοπεῖ, μήτε μεταβαλλόμενον ἄλλοτε ἄλλως, μήτε ἐξι‐ στάμενον τῆς οἰκείας οὐσίας, μήτε νῦν μὲν οὕτως αὖθις δὲ ἑτέρως νοούμενον, |καὶ τοῦτο τὰ κοινὰ ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ τῷ λογισμῷ περιλαμβάνει. οὐ μέντοι δεῖ ταῦτα ὑπολαβεῖν ὡς ἐπιγιγνόμενα τὰ κοινά, ἀλλ’ ὡς προϋπάρχοντα τῶν καθ’ ἕκαστα· οὐδ’ ὡς ἐν τοῖς κατὰ μέρος καὶ μετ’ αὐτῶν ἔχοντα τὴν οὐσίαν, ἀλλ’ ὡς πρεσβυτέραν αὐτῶν καὶ ἀρχικωτέραν προειληφότα, οὐ μὴν διήκουσαν δι’ αὐτῶν, ἀλλὰ προτεταγμένην πρὸ τῶν ἰδίων ἑκάστης ἐπιστήμης μαθημάτων. διόπερ δὴ καὶ ἡ γνῶσις αὐτῶν κοινή ἐστι καὶ προηγουμένη, τελειοτέρα τε τῶν καθ’ ἕκαστα, σύνοψίν τε κοινὴν ποιουμένη πάντων, ἀφ’ ἑνός τε καὶ εἰς ἓν τὰ θεωρήματα πάντα τὰ μαθηματικὰ συντάττουσα, τήν τε συγγένειαν καὶ τὴν ὁμοιότητα αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἐπιβλέπουσα, καὶ τὸ ἀνόμοιον ἐν αὐτοῖς καὶ ἕτερον παραθεωροῦσα, γένη τε ὅσα αὐτῶν ἐστι πρῶτα καὶ εἴδη συνάγουσα εἰς ταὐτὸ καὶ διακρίνουσα, κοινά τε ὁμολογήματα καὶ ὑποθέσεις πρώτας καὶ ὁρισμοὺς καὶ θέσεις καὶ διαιρέσεις καὶ συναγωγὰς συνθέσεις τε καὶ μερισμοὺς καὶ ὑπερβολὰς καὶ ἐλλείψεις καὶ παραβολὰς καθ’ ὁποιαοῦν γένη τῶν μαθηματικῶς ὄντων θεωροῦσα, ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν, καὶ οὐ διωρισμένως καθ’ ἕκαστον, τό τε δυνατὸν τὸ ἐν τούτοις καὶ τὸ ἀδύνατον, καὶ τὸ ἀναγκαῖον καὶ τὸ οὐκ ἀναγκαῖον, τό τε ἀληθὲς καὶ ψεῦδος διακρίνουσα, τάς τε ἐν αὐτοῖς διαφοράς, ὅσαι τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι, διερευνωμένη δι’ ἀκριβείας. Τοσαῦτα ἡμῖν καὶ περὶ τῶν κοινῶς ὑποκειμένων τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ καὶ περὶ τοῦ κοινοῦ τρόπου τῆς κατ’ αὐτὴν θεωρίας διωρίσθω ἐν τῷ παρόντι.