Page 27

ἀρτιάκις ἄρτιος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὰ ἑαυτοῦ ἡμίση καὶ τὰ τῶν ἡμίσεων ἡμίση καὶ ἔτι τῶν ὑπ’ ἐκεῖνα μέχρι μονάδος ἀεὶ ἄρτια ἔχων, ᾧ καὶ διὰ τοῦτο συμβέβηκε μόνῳ ὑπ’ ἀρτίου μετρεῖσθαι μόνον ἀρτιάκις. εἰ δέ τις πρὸς τούτῳ ἔτι καὶ περισσάκις μετρεῖται ὑπὸ ἀρτίου, ἐκφεύξεται τὸ λεγόμενον καὶ ἔσται θατέρου τῶν ἄλλων εἰδῶν. ὥστε καὶ ἐνθάδε ἡμαρτημένως πάλιν Εὐκλείδης ἀφορίζεται λέγων· ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπ’ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος ἀρτιάκις· ἰδοὺ γὰρ ὁ κδʹ ὑπὸ τοῦ ϛʹ ἀρτίου τετράκι μετρεῖται καὶ ὑπὸ τοῦ δʹ ἑξάκις, καὶ ἕτεροι ἄλλοι ὁμοίως, καὶ οὐκ εἰσὶν ἀρτιάκις ἄρτιοι οὐδὲ κατ’ αὐτόν, παρακολούθημα δ’ αὐτοῦ τὸ τὴν εἰς δύο λύσιν αὐτόν τε ἴσχειν καὶ τὰ μέρη καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη, καὶ τοῦτο μέχρι τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος. ἔοικε δὲ διὰ τὸ μὴ μόνον ὑπ’ ἀρτίου ἀρτιάκις μετρεῖσθαι τετευχέναι τοῦ ὀνόματος, ἀλλὰ καὶ ὅτι πᾶν ὃ ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ ἀρτιακῶς ὀνομάζεται. καὶ πάλιν ἡ ἑκάστῳ μέρει ἐμπεριεχομένη δύναμις, τουτέστιν αἱ μονάδες,