ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΓΕΡΑΣΗΝΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΕΙΣ ΔΥΟ ΤΟ ΔΕΥΤΓΡΟΝ.

ε. Λοιπὸν δεῖ, σαφηνίσαντας τὰς τῶν λόγων συνθέσεις, τίνων ἑτέρων ἀποδοτικαί εἰσι, μεταβῆναι ἐπὶ τὰ τῆς εἰςαγωγῆς ἀκόλουθα. οἱ πρῶτοι τοίνυν τοῦ ἐπιμορίου δύο λόγοι συλληφθέντες εἰς τὸ αὐτὸ γεννῶσι τὸν τοῦ πολλαπλασίου πρῶτον λόγον, τουτέστι τὸν διπλάσιον· πᾶς γὰρ διπλάσιος σύστημα ἔσται ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου καὶ πᾶς ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος συντεθέντες ἀποδοτικοὶ ἑνὸς διπλασίου πάντως ἔσονται· οἷον ἐπεὶ ὁ γ ἡμιόλιος τοῦ β, ὁ δὲ δ ἐπίτριτος τοῦ γ, ἔσται τοῦ β ὁ δ διπλάσιος σύνθετος ὢν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου· πάλιν ἐπεὶ ὁ Ϛ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ, εὑρήσομεν ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον, ὃς ἐξ ἀνάγκης πρὸς μὲν τὸν ἕτερον τὸν ἐπίτριτον σώζει λόγον, πρὸς δὲ τὸν λοιπὸν τὸν ἡμιόλιον· ὁ γοῦν δ ἀνὰ μέσον κείμενος τοῦ Ϛ καὶ τοῦ γ πρὸς μὲν τὸν γ ἀποδίδωσι λόγον ἐπίτριτον, πρὸς δὲ τὸν Ϛ τὸν ἡμιόλιον. ὀρθῶς ἄρα ἐλέχθη διαλυόμενον μὲν τὸν διπλάσιον εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον διαλύεσθαι, συντιθεμένων δὲ πάντως ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου μόνον συνίστασθαι διπλάσιον καὶ τὰ τοῦ ἐπιμορίου δύο πρώτιστα εἴδη συντεθέντα ποιητικὰ εἶναι τοῦ τῶν πολλαπλασίων πρωτίστου εἴδους. πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τὸ γεννηθὲν τοῦτο τοῦ πολλαπλασίου πρώτιστον εἶδος μετὰ τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων εἴδους ἀποδοτικὸν γίνεται τοῦ ὁμογενοῦς αὐτῶν συνεχοῦς εἴδους, τουτέστι τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, ὅπερ ἐστὶ τριπλασίου· ἐκ γὰρ παντὸς διπλασίου καὶ ἡμιολίου συντεθέντων τριπλάσιον ἐξ ἀνάγκης φύεται· οἷον ἐπεὶ τοῦ Ϛ διπλάσιος ὁ ιβ, αὐτοῦ δὲ τούτου ἡμιόλιος ὁ ιη, εὐθὺς καὶ τριπλάσιος ὁ ιη τοῦ Ϛ· καὶ ἑτέρῳ τρόπῳ ἐὰν μὴ τὸν ιβ θέλω μέσον ποιεῖν, ἀλλὰ μᾶλλον τὸν τοῦ Ϛ ἡμιόλιον τὸν θ, τὸ αὐτό μοι ἀπαράλλακτον καὶ σύμφωνον συμβήσεται· τοῦ γὰρ θ ὁ ιη διπλάσιος ὢν τὸν τριπλάσιον λόγον σώσει πρὸς τὸν Ϛ· ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον καὶ εἰς αὐτὰ δὲ πάντως ἀναλύεται. ἰδού γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλάσιος ὢν ἕξει μέσον τὸν γ, ὃς δύο λόγους παραδείξει, τὸν μὲν ἡμιόλιον πρὸς τὸν β, πρὸς ἑαυτὸν δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ· ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεῇ ἐπτρίτῳ δευτέρῳ εἴδει ὄντι τοῦ ἐπιμορίου γένοιτ᾿ ἂν ἐξ ἀμφοτέρων τὸ συνεχὲς τοῦ πολλαπλασίου εἶδος, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, ὃ καὶ ἀναγκαίως εἰς ἀμφότερα ἀναλυθήσεται κατὰ τὴν αὐτὴν τοῖς προδεδηλωμένοις φύσιν· τὸ δὲ τετραπλάσιον προςλαβὸν τὸ ἐπιτέταρτον ποιητικὸν ἔσται τοῦ πενταπλασίου καὶ πάλιν ἐκεῖνο σὺν τῷ ἐπιπέμπτῳ τοῦ ἑξαπλασίου, καὶ τοῦτο μέχρι παντός, ἵνα εὔτακτοι οἱ ἐξ ἀρχῆς πολλαπλάσιοι μετὰ εὐτάκτων τῶν ἐξ ἀρχῆς ἐπιμορίων ἀποδοτικοὶ εὑρίσκωνται τῶν ἐπὶ τὸ μεῖζον συνεχῶν πολλαπλασίων· διπλάσιος μὲν γὰρ μεθʼ ἡμιολίου τριπλασιότητος ποιητικός, τριπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτρίτου τετραπλασιότητος, τετραπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτετάρτου πεντα πλασιότητος καί, ἕως προχωρεῖν θέλεις, οὐδὲν ὑπεναντίον σοι συμβαῖνον φανεῖται.