ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

103 Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρισιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου ,διʼ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠. ἔστω δὲ καὶ τὸ Α,Β,Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∠ἡ ∠,Ε, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ∠,Α,Ε τριγώνῳ καὶ τῷ ΟΝΛ ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϚ΄ λημματίου ἐδείχθη ὅτι, ἐὰν ᾗ τρίγωνον ἰσοσκελές ὡς τὸ 𝒢ΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ Μ Μ Μ, τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω2, τουτέστιν τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ 𝒢Ω. καὶ ἐπεὶ ἔχομεν η΄ τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ιβ΄ πενταγώνοις τοῖς Φ𝒢Τ, τουτέστιν ξ΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ, ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἔσα ἐστὶν ιε΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ, τουτέστιν ιε΄ τοῖς Μ Μ Μ, ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐστὶν τῷ πεντεκαιδεκάκις ἀνὸ Μ Μ τὸ ἔρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΩΦ ἴση γάρ ἐστιν ἡ Ω𝒢 τῇ ΩΦ). δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΣΠ ιβ΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΨ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ κρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΞΚ τῇ ΚΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΓΛ, πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ. ἀλλʼ ὡς κὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ, ἡ ΑΜ πρὸς ΙΜ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΙ, ἡ 0Ν πρὸς ΝΙ ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΝΙ, τουτέστιν π΄ τὰ ἀπὸ ΙΛ (τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζ΄ λήμματι ἐδείχθη ἡ ΙΛ τῆς ΙΝ), τουτέστιν κ΄ τὰ ἀπὸ Κ∠, τουτέστιν ιε΄ τὰ ἀπὸ Β∠ (ἐπίτριτος γὰρ ἡ Β∠ τῆς ΚΛ δυνάμει), μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ ὥστε καὶ οβ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ε’ τὰ ἀπὸ ΒΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΘ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ Β∠ ιε΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΛ, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ τῶν στοιχείων (τὸ γὰρ κέντρον τοῦ περὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον κύκλου τὸ Ν σημεῖόν ἐστιν)· καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ON πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΛΝ, τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠κ Ε πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΕΑ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΘ. καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ ∠Α,Ε τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΥΩ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ· μείζων ἄρα ἡ ΓΩ κάθετος τῆς ΧΨ καθέτου. καὶ ὑπόκεινται αἱ ἐπιφάνειαι ἴσαι τῶν στερεῶν σχημάτων μεῖζον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.