ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

105 Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι γωνιῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον, καὶ αἱ περιέχουσαι αὐτάς, ἐάν τε τρεῖς ὦσιν δάν τε πλείους, τῶν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν πάντως. ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἤ τινος εὐθυγράμμου πολυγωνοτέρου περισχεθῆναι στερεὰν γωνίαν ἀδύνατον (αἱ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους), ὑπὸ δὲ πενταγώνου τριῶν μόνων δυνατόν, ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου. πάλιν δέ τέσσαρες μέν ἢ πλείους τετραγώνου γωνίαι περιέχειν στερεάν γωνίαν οὐ δύνανται (τεσσάρων γὰρ ὀρθῶν οὖκ εἰσὶν ἐλάττους), τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ κύβου. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου ἓξ μὲν ἢ πλείους γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους, καὶ διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι, πέντε δὲ καὶ τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται, καὶ περιέχεται ὑπὸ μέν πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος. δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ ἴσων καὶ τοῦ αὐτοῦ πολυγόνου συνεστηκυῖα γωνιῶν, ὥστε οὐδὲ πολύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν ἐστιν ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοἰων πολυγώνων περιεχόμενον.