ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

28 ια΄. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε. Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβών τὸ ∠,καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγών τῇ ΕΓ τὴν ∠Β, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὸν ἀπὸ τοῦ ∠τὴν ∠Ζ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἀπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ∠Β μέσην γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν. Ὅτι μὲν οὖν ἡ Β∠ μέση ἐστὶ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, φανερόν. ἐστι γὰρ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ἡ ∠Β πρὸς ∠Γ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν Α∠ ΑΕ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν Α∠ ΕΓ, πρὸς τὴν τῶν ΕΓ Γ∠. πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, ἢ ποίων εὐθειῶν, οὑκ εἶπεν, μόνον δὲ ὅτι τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΒ Β∠, ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ Β∠ ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἁρμονικὴ μεσότης. δειχθήσεται γὰρ ὑφ᾿ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο αἱ ΕΒ καὶ τρεῖς αἱ ∠Β καὶ μία ἡ BΖ ὡς μία συντεθεῖσαι ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, δύο δὲ αἱ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην, μία δὲ ἡ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην.